含参数的不等式恒成立问题的处理策略 耒阳一中 付运平 含参数的不等式恒成立求参数的取值范围的实质是已知不等的解集求参数的取值范围。学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法。 一、分离变量法 对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。 例1．不等式-2cos2x+4sinx-k2+k<0对一切实数x 恒成立，求参数k 的取值范围。 解：所给不等式可化为：（2 sinx+1）2< k2-k+3 <==>（2 sinx+1）2max< k2-k+3 而（2 sinx+1）2max=9 ≨k2-k+3=9 解之得：k > 3 或k < -2 故k的取值范围是（-≦，-2）∪（3，+≦）。 一般地分离变量后有下列几种情形： ①f(x)≥g(k) <==> [f(x)]min≥g(k) ②f(x)> g(k) <==> g(k) < [f(x)] min ③f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max≤g(k) ④f(x)≤g(k) <==> [f(x)] max < g(k) 二、数形结合 对于含参数的不等式恒成立问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，利用图象直观和运动变化的观点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到关于参数K的不等式。 例2 如果不等式 x-5 ≠kx+2 在[s，+≦]内恒成立求参数K的取值范围 解：令 f(x) = x-5 , g(k) = kx+2（x≥5）；f(x)的图象是抛物线 y 2=x-5 位于x 轴上方的部分，g(k)的图象则是斜率为k在 y 轴上的截距为2 的动直线 过 A（0，2）作y 2=x-5 的切线，令它的方程为y=kx+2，显然 k≠0 由 y 2=x-5 清去 y 得 k2x+（4k-1）+9=0 y=kx+2 由△=-20k2-8k+1=0 解得k = 1 ，k= 1 10 2 y = 1 x +2 切抛物线y 2=（x -5）于上半部y =- 1 x +2 10 2 切抛物线y 2=x -5 于下半部，故y = 1 x +2 与y = x +5 相 10 切，又KBA=- 2 ，其中A(0，2) B(5，0)，令y = 1 x 切 5 10 y = x -5 于C，x -5 ≠kx +2 在[5，+≦）内恒成立。 （二）y = f(x )与y = g(x )的图象无 交点,如图知当过A 的直线在∠BAC 的外部时它们没有交点 故当k> 1 或 K<- 2 时,不等 10 5 式 x -5≠kx +2，在[5，+≦)内恒成立。 三、利用函数的单调性 当不等式两边的函数在使不等式恒成立的区间内具有不同的单调性...
