精品文档---下载后可任意编辑1. （2024 宁夏区 10 分）在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3,P 是 BC 上的任意一点（P 与 B、C 不重合），过点 P 作AP⊥PE，垂足为 P，PE 交 CD 于点 E.(1)连接 AE，当△APE 与△ADE 全等时，求 BP 的长；(2)若设 BP 为 x，CE 为 y，试确定 y 与 x 的函数关系式。当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？(3)若 PE∥BD，试求出此时 BP 的长.【答案】解：（1） △APE≌△ADE，∴AP=AD=3。在 Rt△ABP 中，AB=2，∴BP=。（2） AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE。∴ ，即。∴。 ∴当时，y 的值最大，最大值是。（2）设 BP=x, 由（2）得。 PE∥BD，∴△CPE∽△CBD。∴， 即，化简得。解得或（不合题意，舍去）。∴当 BP= 时， PE∥BD。【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由△APE≌△ADE 可得 AP=AD=3，在 Rt△ABP 中，应用勾股定理即可求得 BP 的长。（2）由 AP⊥PE，得 Rt△ABP∽Rt△PCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得 y 与 x 的函数关系式。化为顶点式即可求得当时，y 的值最大，最大值是。（3）由 PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得 BP 的长。2. （2024 山西省 12 分）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC 和 Rt△DEF）按图 1 所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O 是 AB 的中点，点 D 与点 O 重合，DF⊥AC 于点 M，DE⊥BC 于点 N，试推断线段 OM 与 ON 的数量关系，并说明理由．探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接 CO，则 CO 是 AB 边上中线， CA=CB，∴CO 是∠ACB 的角平分线．（依据 1） OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据 2）反思沟通：（1）上述证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别是指：依据 1：依据 2：（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．拓展延伸：（3）将图 1 中的 Rt△DEF 沿着射线 BA 的方向平移至如图 2 所示的位置，使点 D 落在 BA 的延长线上，FD 的延长线与 CA 的延长线垂直相交于点 M，BC 的延长线与 DE 垂直相交于点 N，连接 OM、ON，试推断线段 OM、ON 的数量关系与位置关系，并写出证明过程．【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角...
