中考数学提升讲义共顶点旋转模型及其延伸

精品文档---下载后可任意编辑一、题源分析（人教版八年级上册第 55 页）如图， ,求证（人教版九年级上册第 63 页）如图，都是等边三角形，BE 与 DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？二、共顶点旋转模型简要概述共顶点模型，是指两个等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。例如上题中的三角形 ADC 和三角形 ABE。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：（1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。典例分析 1：（2024 年河南）（1）问题发现如图 1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点 A、D、E 在同一直线上，连接 BE填空：（1）∠AEB 的度数为； （2）线段 AD、BE 之间的数量关系是。（2）拓展探究如图 2，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点 A、D、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接 BE。请推断∠AEB 的度数及线段 CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由。思路点拨：（1）第一问，考虑到两个等边三角形有一个公共顶点 C，在点 C 处可以找到两组相等的边，列出来即可表示为：，观察边的形式，就可以得到全等的两个三角形是：.（2）类比第一问，可以得到，故而全等的三角形为，之后再做计算即可。典例分析 2：（2024 年安徽）如图 1，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作 CD的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图 2，若 AD、BC 所在直线互相垂直，求的值．精品文档---下载后可任意编辑思路点拨：（1）第一问，结合共顶点旋转全等模型即可（2）类比第一问，全等模型的延伸，相似模型。根据，类比全等证明相似。（3）结合前两问的相似即可得到即为相似比，亦即求解的值即可。典例分析 3：（2024 年广州中考）如图 1，⊙O 中 AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形 DCE 中∠DCE 是直角，点 D 在线段 AC 上．（1）证明：B、C、E 三点共线；（2）若 M 是线段 BE 的中点，N 是线段 AD 的中点，证明：。思路点拨：（1）第一问，共顶点旋转模型（2）根据第一问的全等证明即可构造旋转模型求解。三、共顶点旋转模型的应用1．半角模型：...