习题课讲义多元微积分

精品文档---下载后可任意编辑一、二元函数的极限与连续1、 二元函数的定义：设有三个变量、与，假如对于、所能取的每一对值，按一定的法则总有一个确定的值与之对应，则称是、的函数，记作， 。注：这里的为定义域或定义区域。区域：连通的开集，也称开区域。应了解：开集、闭集、有界集、无界集等概念：比如：为有界开集；为有界闭集； 为无界开集；为无界闭集。[例]已知，求：解：记：、，即、，故。2、 二重极限：，，当时，恒有。注 1：二重极限中：要求“以任何方式”、“同时”进行。假如函数沿着一条特别的路径（或以某种特定的方式）使时极限不存在，则不存在；假如函数沿两条不同的路径（或以两种不同的方式）使时极限不存在，则不存在。注 2：要注意二重极限：与二次极限或的差别；[例]：设函数讨论。[解]：取，随的不同而变化，因此不存在。注：的存在性与二次极限、的存在性无关：取（），但、均不存在，（、均不存在），反例更多。3、二元函数的连续性：设二元函数在的某个邻域内有定义，若或记全增量，或，，当时，恒有，则称在处连续。若在内处处连续，则称函数在内连续；函数不连续的点称为的间断点。若函数在有界闭区域上连续，则在上必有界，且能取得最大值和最小值。也必取得介于最大值和最小值之间的任何值。3、 例子[例 1]（1）；（2）；（3）令，则；注：时，是变量，也在变化，不能把看成常量；比如： 不存在。yxfz,Dyx,1,22 yxyx1,22 yxyx1, yxyx1, yxyx22,yxxyyxfyxf,uyxvxy vux1vuvy1yyxyxf 11,2  Ayxfyxyx,lim00 ,,0020200yyxx Ayxf,00,,yxyxyxf,00,,yxyx  yxfyxyx,lim00 ,,yxf,00,,yxyx  yxfyxyx,lim00 ,,  yxfyxyx,lim00 ,,yxfyyxx,limlim00yxfxxyy,limlim00,0,00,,222222yxyxyxxyyxf  yxfyx,lim0,0,kxy   yxfyx,lim0,0,22222001lim,limkkxkxkxkxxfxx  yxfyx,lim0,0,  yxfyxyx,lim00 ,,yxfyyxx,limlim00yxfxxyy,limlim00...