二项式定理典型例题解析

精品文档---下载后可任意编辑概 念 篇【例 1】求二项式(a－2b)4的展开式.分析：直接利用二项式定理展开.解：根据二项式定理得(a－2b)4=Ca4+Ca3(－2b)+Ca2(－2b)2+Ca(－2b)3+C(－2b)4=a4－8a3b+24a2b2－32ab3+16b4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略.【例 2】展开(2x－32x2 )5.分析一：直接用二项式定理展开式.解法一：(2x－32x2 )5=C(2x)5+C(2x)4(－32x2 )+C(2x)3(－32x2 )2+C(2x)2(－32x2 )3+C (2x)(－32x2 )4+C(－32x2 )5=32x5－120x2+180x－135x4 +4058 x7 －24332 x10 .分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法二：(2x－32x2 )5=(4 x3−3)532 x10=132 x10 ［C(4x3)5+C(4x3)4(－3)+C(4x3)3(－3)2+C(4x3)2(－3)3+C(4x3)(－3)4+C(－3)5］=132 x10 (1024x15－3840x12+5760x9－4320x6+1620x3－243)=32x5－120x2+180x－135x4 +4058 x7 －24332 x10 .说明：记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.【例 3】在(x－)10的展开式中，x6的系数是.解法一：根据二项式定理可知 x6的系数是 C.解法二：(x－)10的展开式的通项是 Tr+1=Cx10－r(－)r.令 10－r=6，即 r=4，由通项公式可知含 x6项为第 5 项，即 T4+1=Cx6(－)4=9Cx6.∴x6的系数为 9C.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含 x6这一项系数，而不是求含 x6x6的二项式系数，解法一就正确了，也即是 C.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.【例 4】已知二项式(3－23x )10，(1)求其展开式第四项的二项式系数；(2)求其展开式第四项的系数；(3)求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式.解：(3－23x )10的展开式的通项是 Tr+1=C(3)10－r(－23x )r(r=0，1，…，10).(1)展开式的第 4 项的二项式系数为 C=120.(2)展开式的第 4 项的系数为 C37(－23 )3=－77760.(3)展开式的第 4 项为－77760()71x3 ，即－77760.说明：注意把(3－23x )10写成［3+(－23x )］10，从而凑成二项式定理的形式.【例 5】求二项式(x2+12√x )10的展开式中的常数项.分析：展开式中第 r+1 项为 C(x2)10－r(12√x )r，要使得它是常数项，必须使“x”...