复变函数期末复习提要第6章：解析函数的罗朗级数表示⒈了解双边幂级数的有关概念；⒉理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；⒊了解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；⒋了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。定义6.1称级数（6.1）为双边幂级数，其中与为复常数，称为双边幂级数（6.1）的系数．定义6.2若级数（6.1）在圆环内收敛，则称此圆环为级数（6．1）的收敛圆环．类似幂级数，双边幂级数有如下定理：定理6.1若级数（6.1）的收敛圆环为，则级数（6.1）在内绝对收敛，且在内每个较小的同心闭圆环上一致收敛，其和函数在内为解析函数．定理6.2若函数在圆环内解析，则在内可展成双边幂级数为（6.4）其中（6.5）这里的为圆周，并且系数被及圆环唯一确定．例1试将在圆环内展成罗朗级数．解首先，知道在圆环内解析，所以，在该圆环内可展成罗朗级数，且展式是唯一的．其次，利用展式将展成罗朗级数．由得及故例2试将在点的去心邻域内展成罗朗级数．解首先，确定使在其中解析的点的最大去心邻域为．其次，将展成罗朗级数，有孤立奇点的分类定义6.3设点为函数的奇点，若在点的某个去心邻域内解析，则称点为函数的孤立奇点．定义6.4设点为函数的孤立奇点：⑴若在点的罗朗级数的主要部分为零，则称点为的可去奇点；⑵若在点的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为则称点为的级（阶）极点；⑶若在点的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点为的本性奇点．依定义，点为的可去奇点，点为的二级极点，点为的本性奇点．函数在孤立奇点的去心邻域内的性质⑴函数在可去奇点的去心邻域内的性质定理6.3若点为的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：①点为的可去奇点；②；③函数在点的某个去心邻域内有界．⑵函数在极点的去心邻域内的性质定理6.4若点为的孤立奇点，则下列三个条件是等价的．①点为的级极点；②在点的某个去心邻域内可表示为其中的在点的邻域内解析，且；③点为的级零点（可去奇点视作解析点时）．定理6.5点为函数的极点的充分必要条件是⑶函数在本性奇点的去心邻域内的性质定理6.6点为函数的本性奇点的充分必要条件是不存在，即当时，既不趋于有限值，也不趋于．定理6.7若点为的本性奇点，且在点的充分小的邻域内不为零，则点必为的本性奇点．例3设，试求在复平面上的奇点，并判定其类别．解首先，求的奇点．的奇点出自方程的解．解方程得若设，则易知为的孤立奇点．另外，因所以，由零点的定义知为的一级零点．从而知均为的一级极点．
