数值分析基于MATLAB的科学计算—线性方程组VIP专享

精品文档---下载后可任意编辑及其基于ＭＡＴＬＡＢ的程序实现与分析三、解线性方程组（线性矩阵方程）解线性方程组是科学计算中最常见的问题。所说的“最常见”有两方面的含义：１）问题的本身是求解线性方程组；２）许多问题的求解需要或归结为线性方程组的求解。 关于线性方程组Ax=B ⇒ x= A−1B （１）其求解方法有两类：1） 直接法：高斯消去法（Gaussian Elimination）；２）间接法：各种迭代法（Iteration）。１、高斯消去法１）引例考虑如下（梯形）线性方程组：{x1−2 x2+x3=23 x2−4 x3=12 x3=1⇔[1−2103−4002 ](x1x2x3)=(211)⇒{x1=2x2−x3+2=3.5x2= 13 (1+4 x3)=1x3=0.5高斯消去法的求解思路：把一般的线性方程组（１）化成（上或下）梯形的形式。２）高斯消去法——示例考虑如下线性方程组：{x1−x2+x3=1−2x1+2.001 x2−2.01x3=−5x1+9 x2+2 x3=30601⇔[1−11−22.001−2.01192 ](x1x2x3)=(1−530601)１）第一个方程的两端乘21 加到第二个方程的两端，第一个方程的两端乘－１加到第三个方程的两端，得[1−1100.001−0.010101 ](x1x2x3)=(1−330600)２） 第二个方程的两端乘−100.001 加到第三个方程的两端，得[1−1100.001−0.0100101 ](x1x2x3)=(1−360600)３）从上述方程组的第三个方程依此求解，得{x1=x2−x3+1=2401x2=1000 (−3+0.01 x3)=3000x3=600３）高斯消去法的不足及其改进——高斯（全、列）主元素消去法在上例中，由于建模、计算等原因，系数而产生的误差，实际求解的方程组为[1−11−22.0005−2.01192 ](x1x2x3)=(1−530601)⇒{x1=2565.2x2=3014.9x3=450.70注：数值稳 定 的算法 高斯列主元素消去法就是在消元的每一步选取（列）主元素—一列中绝对值最大的元取做主元素，高斯列主元素消去法是数值稳定的方法。精品文档---下载后可任意编辑列主元素消去法的基本思想：在每轮消元之前，选列主元素（绝对值最大的元素）,使乘数|lik|≤1.列主元素消去法的步骤：设已经完成第 1 步到第k−1步的按列选主元、交换两行、消元计算，得到矩阵[ A(k),b(k)]=[a11(1)a12(1 )⋯a1k(1)⋯a1n(1)b1(1)a22(2)⋯⋱a2 k(2 )⋮⋯a2n(2)⋮b2(2)⋮akk(k )⋯akn(k)bk(k)⋮⋯⋮⋮ank(k )⋯ann(k)bn(k)].第步计算如下：对于k=1,2,⋯,n−1，（1） 选列主元素，即确定使|ai0k( k)|=maxk≤i≤n|aik(k )|；（2） 假如|ai0k( k)|→0，则方程组解不唯一，或者接近奇异矩阵，停止运算；（3） 假如i0≠k ...