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数学百大例题——算术平均数与几何平均数新课标

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精品文档---下载后可任意编辑例 1 已知a,b,c ∈R ,求证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.证明: a2+b2≥2ab ,b2+c2≥2bc ,c2+a2≥2ca, 三式相加,得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.说明:这是一个重要的不等式,要熟练掌握.典型例题二例 2 已知a、b、c是互不相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(a2+c2)+c( a2+b2)>6abc证明: b2+c2>2bc ,a>0 ,∴a(b2+c2)>2abc同理可得:b(a2+c2)>2abc ,c( a2+b2)>2abc .三个同向不等式相加,得a(b2+c2)+b(a2+c2)+c( a2+b2)>6abc ①说明:此题中a、b、c互不相等,故应用基本不等式时,等号不成立.特别地,a=b ,b≠c 时,所得不等式①仍不取等号.典型例题三例 3 求证√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c).分析:此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式a2+b2≥2ab ,并能由√2(a+b+c)这一特征,思索如何将a2+b2≥2ab 进行变形,进行制造”.证明: a2+b2≥2ab ,两边同加a2+b2得2(a2+b2)≥(a+b)2.即a2+b2≥( a+b)22.∴√a2+b2≥ 1√2|a+b|≥√22 (a+b).同理可得:√b2+c2≥√22 (b+c),√c2+a2≥√22 (c+a).三式相加即得√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c).典型例题四例 4 若正数、满足ab=a+b+3 ,则的取值范围是.解: a,b∈ R+, ∴ab=a+b+3≥2√ab+3,令y=√ab,得y2−2 y−3≥0,∴y≥3 ,或y≤−1(舍去).∴y2=ab≥9 ,∴的取值范围是[9,+∞).说明:本题的常见错误有二.一是没有舍去y≤−1;二是忘了还原,得出ab∈[3,+∞).前者和后者的问题根源都是对√ab 的理解,前者忽视了√ab≥0.后者错误地将视为√ab .因此,解题过程中若用换元法,一定要对所设“元”的取值范围有所了解,并注意还原之.典型例题五例 5 (1)求y=6√ x2+1x2+4的最大值.(2)求函数y=x2+4x2+1 的最小值,并求出取得最小值时的值. (3)若x>0, y>0 ,且x+ y=2 ,求x2+ y2的最小值.解:(1)y=6√ x2+1x2+4= 6√ x2+1( x2+1)+3=6√x2+1+3√ x2+1¿ 62√3=√3.即的最大值为√3.当且仅当√ x2+1=3√ x2+1 时,即x2=2x=±√2时,取得此最大值.精品文档---下载后可任意编辑(2)y=x2+4x2+1=x2+1+4x2+1−1¿2⋅√4−1=3∴的最小值为 3,当且仅当4x2+1=x2+1,即( x2+1)2=4,x2+1=2,x=±1时取得此最小值.(3)∴x2+ y2≥2 xy ∴2( x2+ y2)≥( x+ y)2即x2+ y2≥( x+ y)22 x+ y=2 ∴x2+ y2≥2 即x2+ y2的最小值为 2.当且仅当x=y=4...

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