数学百大例题——算术平均数与几何平均数新课标VIP专享

精品文档---下载后可任意编辑例 1 已知a,b,c ∈R ，求证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.证明： a2+b2≥2ab ，b2+c2≥2bc ，c2+a2≥2ca， 三式相加，得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)，即a2+b2+c2≥ab+bc+ca.说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例 2 已知a、b、c是互不相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(a2+c2)+c( a2+b2)>6abc证明： b2+c2>2bc ，a>0 ，∴a(b2+c2)>2abc同理可得：b(a2+c2)>2abc ，c( a2+b2)>2abc ．三个同向不等式相加，得a(b2+c2)+b(a2+c2)+c( a2+b2)>6abc ①说明：此题中a、b、c互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，a=b ，b≠c 时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例 3 求证√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c)．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式a2+b2≥2ab ，并能由√2(a+b+c)这一特征，思索如何将a2+b2≥2ab 进行变形，进行制造”．证明： a2+b2≥2ab ，两边同加a2+b2得2(a2+b2)≥(a+b)2．即a2+b2≥( a+b)22．∴√a2+b2≥ 1√2|a+b|≥√22 (a+b)．同理可得：√b2+c2≥√22 (b+c)，√c2+a2≥√22 (c+a)．三式相加即得√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c)．典型例题四例 4 若正数、满足ab=a+b+3 ，则的取值范围是．解： a,b∈ R+， ∴ab=a+b+3≥2√ab+3，令y=√ab，得y2−2 y−3≥0，∴y≥3 ，或y≤−1（舍去）．∴y2=ab≥9 ，∴的取值范围是[9,+∞).说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去y≤−1；二是忘了还原，得出ab∈[3,+∞)．前者和后者的问题根源都是对√ab 的理解，前者忽视了√ab≥0.后者错误地将视为√ab ．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．典型例题五例 5 （1）求y=6√ x2+1x2+4的最大值．（2）求函数y=x2+4x2+1 的最小值，并求出取得最小值时的值． （3）若x>0, y>0 ，且x+ y=2 ，求x2+ y2的最小值．解：（1）y=6√ x2+1x2+4= 6√ x2+1( x2+1)+3=6√x2+1+3√ x2+1¿ 62√3=√3.即的最大值为√3.当且仅当√ x2+1=3√ x2+1 时，即x2=2x=±√2时，取得此最大值．精品文档---下载后可任意编辑（2）y=x2+4x2+1=x2+1+4x2+1−1¿2⋅√4−1=3∴的最小值为 3，当且仅当4x2+1=x2+1，即( x2+1)2=4，x2+1=2，x=±1时取得此最小值．（3）∴x2+ y2≥2 xy ∴2( x2+ y2)≥( x+ y)2即x2+ y2≥( x+ y)22 x+ y=2 ∴x2+ y2≥2 即x2+ y2的最小值为 2．当且仅当x=y=4...