文登数学考研讲义

精品文档---下载后可任意编辑第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与 Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.limx−¿0arctan x−xln(1+2 x3)= limx−¿ 0arctan x−x2x3=−16 （等价小量与洛必达）2.已知limx−¿0sin6x+xf ( x )x3=0，求 limx−¿06+f ( x)x2解：limx−¿0sin6x+xf ( x )x3=limx−¿06cos6 x+f ( x )+xy '3x2= limx−¿ 0−36sin6 x+2 y'+xy ''6 x=limx−¿0−216cos 6 x+3 y ''+xy '''6¿−216+3 y ''(0)6=0∴ y''( 0)=72limx−¿06+f ( x)x2=limx−¿ 0y'2 x =limx−¿ 0y''2 =722 =36（洛必达）3.limx−¿1( 2xx+1 )2 xx−1（重要极限）4.已知 a、b 为正常数，求 limx−¿0( ax+bx2)3x解：令t=( ax+bx2)3x ,lnt=3x [ ln( ax+bx)−ln 2]limx−¿0 ln t=limx−¿ 03ax+bx (ax ln a+bxln b)=32 ln(ab)∴t=(ab)3/2（变量替换）5.limx−¿0(cos x)1ln(1+ x2)解：令t=( cos x)1ln (1+ x2) ,ln t=1ln(1+x2)ln(cos x)limx−¿0ln t=limx−¿ 0−tan x2 x=−12 ∴t=e−1/2（变量替换）6.设f ' ( x)连续，f (0)=0,f '(0)≠0，求limx−¿0∫0x2f (t )dtx2∫0xf (t )dt=1精品文档---下载后可任意编辑（洛必达与微积分性质）7.已知f(x)=¿{ln(cosx)x−2,x≠0¿¿¿¿在 x=0 连续，求 a解：令a=limx−¿0 ln(cos x)/x2=−1/2（连续性的概念）三、补充习题（作业）1.limx−¿0e x−1−x√1−x−cos√x =−3（洛必达）2.limx−¿0ctgx(1sin x −1x )（洛必达或 Taylor）3.limx−¿0x∫0x e−t2dt1−e−x2=1（洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线...