直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求VIP免费

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和例1（07高考山东文18）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．（1）求数列的等差数列．（2）令求数列的前项和．练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.二、错位相减法例2（07高考天津理21）在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；．例3（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．三、逆序相加法例4（07豫南五市二联理22.）设函数的图象上有两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，若,且点P的横坐标为.（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II）若四、裂项求和法例5求数列的前n项和.例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；五、分组求和法例7数列{an}的前n项和，数列{bn}满.（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。例8求（）六、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例9求之和.解：由于（找通项及特征）∴＝（分组求和）＝＝＝例10已知数列{an}：的值.解：∵（找通项及特征）＝（设制分组）＝（裂项）∴（分组、裂项求和）＝＝类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令代入上式得个等式累乘之，即又例:已知，，求。。类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．类型4（其中p，q均为常数，）。（,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以类型5递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型6解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.