微分几何简介

精品文档微分几何学历史简介清华大学周坚我们借用杨振宁先生的以下诗句来开始对几何学的一个简介：天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何,四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。最后一句诗提到了五位伟大的几何学家：Euclid,Gauss,Riemann,Cartan,和陈省身。其中，Euclid 为古希腊人,Gauss 和 Riemann 为十九世纪德国人，Cartan 为二十世纪法国人。陈省身先生二十世纪三十年代在清华大学数学系读硕士，抗日战争中在西南联大任教授，现定居于南开大学。下文参考了他写的“九十初度说数学”几何是 geometry 的音译。其词头 geo 是“土地”的意思，词尾 metry是“测量学”的意思，合起来是“土地测量学”的意思。这反映了几何学起源于实际问题。Euclid 写了一本书“Elements”，中文译名为“几何原本”内容包含平面几何学、空间几何学和数论，总结了古希腊的很多数学知识，可能是从古至今影响最大的科学著作。中学课本中的平面几何学内容大都来源于“Elements”,从中可以学到古希腊人用以逻辑为基础的理性思维进行科学研究的方法。Einstein 认为一个人如果在年轻时对平面几何从没产生过兴趣的话，精品文档恐怕很难在科学上做出重要发现。几何学的下一个进展由哲学家Descarte 取得，据说他身体不好，经常需要卧床休息，有一次看到在墙角织网的蜘蛛，受启发引进了坐标的概念。由此产生了解析几何学，使得代数方法可以在几何问题中应用。例如，圆周、椭圆、双曲线、抛物线等古希腊人即开始研究的几何对象有很简单的代数描述。解析几何学促进了微积分的诞生。由 Newton 和 Leibnitz 创立的这门学问在现代科学中的重要性是不用赘述的。将微积分应用于几何问题的研究就是所谓微分几何。最初研究的是三维空间中的曲线、曲面。Gauss 于 1827 年写了一本 50 页左右的小书，研究曲面的微分几何，包括大学学的微分几何的主要内容。这本书标志着微分几何学的诞生。Gauss 当时主持一项土地测量的的项目，他写这本是为了给这项工作一个理论基础。Gauss 也是非欧几何学(non-Euclideangeometry)的创始人之一。需要指出的是 Gauss 工作的主要领域是数论。同 Gauss 一样，Riemann 工作的主要领域也不是几何学，而是单复变精品文档函数，但他是现代微分几何与解析数论的创始人。在他为取得大学教授资格的公开讲演中，Riemann 提出了微分几何学发展的新思想，其中包括流形、Riemann 度量、Riemann 曲率等重要概念。...