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导数与函数零点问题解题方法归纳

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导函数零点问题 一.方法综述 导数是研究函数性质的有力工具,其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性.应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时,绕不开研究  f x 的单调性,往往需要解方程  0fx= .若该方程不易求解时,如何继续解题呢?在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上,本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二.解题策略 类型一 察“言”观“色”,“猜”出零点 【例 1】【2020·福建南平期末】已知函数   21 exf xxax. (1)讨论  fx 的单调性; (2)若函数   21 e1xg xxmx 在1,  有两个零点,求 m 的取值范围. 【分析】(1)首先求出函数的导函数因式分解为  11 exfx axx ,再对参数a 分类讨论可得; (2)依题意可得   21exgxmx ,当0m函数在定义域上单调递增,不满足条件; 当0m 时,由(1)得 gx在1,  为增函数,因为 01gm ,  00g.再对1m  ,1m,01m 三种情况讨论可得. 【解析】(1)因为   21xf xxaxe,所以 221 exfxxax a, 即  11 exfx axx . 由 0fx,得11xa ,21x   . ①当0a 时,  21 e0xfxx ,当且仅当1x  时,等号成立. 故 f x 在,  为增函数. ②当0a 时, 11a  , 由 0fx ′得1xa 或1x  ,由 0fx ′得 11ax  ; 所以 f x 在,1a ,1,  为增函数,在1 , 1a为减函数. ③当0a 时,11a  , 由 0fx ′得1xa 或1x  ,由 0fx ′得11xa  ; 所以  f x 在, 1 ,1 ,a 为增函数,在1,1a为减函数. 综上,当0a 时, f x 在为,  增函数; 当0a 时, f x 在,1a ,1,  为增函数,在1 , 1a为减函数; 当0a 时, f x 在, 1 ,1 ,a...

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