导数与函数零点问题解题方法归纳

导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究  f x 的单调性，往往需要解方程  0fx＝ .若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例 1】【2020·福建南平期末】已知函数   21 exf xxax. （1）讨论  fx 的单调性； （2）若函数   21 e1xg xxmx 在1,  有两个零点，求 m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为  11 exfx axx ，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得   21exgxmx ，当0m函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m 时，由（1）得 gx在1,  为增函数，因为 01gm ，  00g.再对1m  ，1m，01m 三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为   21xf xxaxe，所以 221 exfxxax a， 即  11 exfx axx . 由 0fx，得11xa ，21x   . ①当0a 时，  21 e0xfxx ，当且仅当1x  时，等号成立. 故 f x 在,  为增函数. ②当0a 时， 11a  ， 由 0fx ′得1xa 或1x  ，由 0fx ′得 11ax  ； 所以 f x 在,1a ，1,  为增函数，在1 , 1a为减函数. ③当0a 时，11a  ， 由 0fx ′得1xa 或1x  ，由 0fx ′得11xa  ； 所以  f x 在, 1 ，1 ,a 为增函数，在1,1a为减函数. 综上，当0a 时， f x 在为,  增函数； 当0a 时， f x 在,1a ，1,  为增函数，在1 , 1a为减函数； 当0a 时， f x 在, 1 ，1 ,a...