导数压轴题分类极值点偏移问题

第 1 页 共 8 页 导数压轴题分类（2）---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数  xxfxfF02x或者 xxfxxfxF00。其中0x 为函数 xfy的极值点。⑵利用对数平均不等式。2lnlnabbababa。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题，总结极值点偏移问题的解决方法。 1．设函数22( )ln()f xax xaxaR  （ 1） 试 讨 论 函 数( )f x 的 单 调 性 ; （2）( )f xm有两解12,x x （12xx）,求证：122xxa. 解 析 ： （ 1） 由22( )lnf xax xax 可 知2222(2)()( )2axax ax a x afxx axxx  因 为函 数( )f x 的 定义域为(0,) ，所以 ① 若0a 时，当(0, )xa时，( )0fx，函 数( )f x 单 调 递减， 当( ,)xa 时，( )0fx，函 数( )f x 单 调 递增； ② 若0a 时，当( )20fxx在(0,)x 内恒成立，函 数( )f x 单 调 递增； ③ 若0a 时，当(0,)2ax时，( )0fx，函 数( )f x 单 调 递减， 当(,)2ax  时，( )0fx，函 数( )f x 单 调 递增； （2）要证122xxa，只需证122xxa， (x )g222(x )2,g (x )20(x )(x )aafx agfxx  则为增函数。 只需证：12xx()( )02ffa，即证2121221212221+0+0ax xax xaxxxxa （*） 又2222111222ln,ln,axxaxmaxxaxm两式相减整理得： 第 2 页 共 8 页 1212212lnln1 (xxa)0xxxxa，把1212212lnln1 (xxa)xxaxx代入（*）式，即证： 121212lnln20xxxxxx化为：121112222(1)2(1)ln0,= ,ln011xxxxtttxxxtx令即证： 2222(1)41(t 1)(t)ln (01),(t)0111tttttttt    令则 所以(t)为减函数，(t)(1)0 综上得：原不等式得证。 2.设11(,)A xy,22(,)B xy是函数2( )(12 )lnf xaxa xx图象C 上不同的两点, M 为线段 AB的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 N ,试问:曲线 C 在点 N 处的切线是否平行于直线AB ？ 解:由题意可得 21111(1 2 )lnyaxa xx,22222...