将军饮马问题 问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 方法原理 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 基本模型 1. 已知：如图，定点A、B 分布在定直线l 两侧； 要求：在直线l 上找一点P，使PA+PB 的值最小 解：连接AB 交直线l 于点P，点P 即为所求, PA+PB 的最小值即为线段AB 的长度 理由：在l 上任取异于点P 的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P 为直线AB 与直线l 的交点时，PA+PB 最小. 2 . 已知：如图，定点A 和定点B 在定直线l 的同侧 要求：在直线l 上找一点P，使得 PA+PB 值最小 （或△ABP 的周长最小） 解：作点A 关于直线l 的对称点A´，连接A´B 交l 于P， 点P 即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l 为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB 最小，则 需 PA´+PB 值最小，从而转化为模型 1. 3 . 已知：如图，定点A、B 分布在定直线l 的同侧（A、B 两 点到l 的距离不相等） 要求：在直线l 上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA 并延长，交直线l 于点P，点P 即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l 上任取异于点P 的一点P´， 连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱
