将军饮马问题 问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 方法原理 1.两点之间,线段最短;2.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等;4.垂线段最短. 基本模型 1. 已知:如图,定点A、B 分布在定直线l 两侧; 要求:在直线l 上找一点P,使PA+PB 的值最小 解:连接AB 交直线l 于点P,点P 即为所求, PA+PB 的最小值即为线段AB 的长度 理由:在l 上任取异于点P 的一点P´,连接AP´、BP´, 在△ABP’中,AP´+BP´>AB,即AP´+BP´>AP+BP ∴P 为直线AB 与直线l 的交点时,PA+PB 最小. 2 . 已知:如图,定点A 和定点B 在定直线l 的同侧 要求:在直线l 上找一点P,使得 PA+PB 值最小 (或△ABP 的周长最小) 解:作点A 关于直线l 的对称点A´,连接A´B 交l 于P, 点P 即为所求; 理由:根据轴对称的性质知直线l 为线段AA´的中垂线, 由中垂线的性质得:PA=PA´,要使PA+PB 最小,则 需 PA´+PB 值最小,从而转化为模型 1. 3 . 已知:如图,定点A、B 分布在定直线l 的同侧(A、B 两 点到l 的距离不相等) 要求:在直线l 上找一点P,使︱PA-PB︱的值最大 解:连接BA 并延长,交直线l 于点P,点P 即为所求; 理由:此时︱PA-PB︱=AB,在l 上任取异于点P 的一点P´, 连接AP´、BP´,由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱