第 3 页精品文档---下载后可任意编辑2024 中考数学每日一题（二十九）（附答案）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝－x＋2x＋3 与 x 轴交于A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶点。〔1〕求直线 AC 的解析式及 B、D 两点的坐标； 〔2〕点 P 是 x 轴上的一个动点，过 P 作直线 l//AC 交抛物线于点 Q。摸索究：随着点 P 的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以A、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； 〔3〕请在直线 AC 上找一点 M，使△BDM 的周长最小，求出点 M的坐标。 思路点拨 1．第〔2〕题探究平行四边形，依据 AP 为边或者对角线分两种状况商量 。2．第〔3〕题是典型的"牛喝水'问题，构造点 B 关于"河流'AC 的对称点 B，那么 M 落在 BD 上时，MB＋MD 最小，△MBD 的周长最小。 总分 解答 〔1〕由 y＝－x＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)＋4，得 A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)。直线 AC 的解析式是 y＝3x＋3。 〔3〕设点 B 关于直线 AC 的对称点为 B，联结 BB 交 AC 于 F。 联结 BD，BD 与交 AC 的交点就是要探求的点 M。作 BEx 轴于 E，那么△BBE∽△BAF∽△CAO。第 4 页精品文档---下载后可任意编辑 考点伸展 第〔2〕题的解题思路是这样的：① 如图 4，当 AP 是平行四边形的边时，CQ//AP，所以点 C、Q 关于抛物线的对称轴对称，点 Q 的坐标为(2, 3)。② 如图 5，当 AP 是平行四边形的对角线时，点 C、Q 分居 x 轴两侧，C、Q 到 x 轴的距离相等。
