全概率公式及其应用 (清华大学数学科学系 叶俊) 命题趋势: 即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。要求大家能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。 1. 全概率公式和Bayes 公式 概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes 公式正好起到了这样的作用。对一个较复杂的事件A，如果能找到一伴随 A 发生的完备事件组,,21 BB，而计算各个iB 的概率与条件概率)|(iBAP相对又要容易些，这时为了计算与事件 A 有关的概率，可能需要使用全概率公式和Bayes 公式。 背景：例如，在医疗诊断中，为了诊断出现症状 A的患者，到底患了疾病 B B12,中的哪一种，可用Bayes 公式算出在症状 A 的情况下，起因于疾病 Bi的概率P B Ai() ，而后按各个后验概率P B Ai() 的大小来推断患者患哪种病的可能性最大． 完备事件组的理解：所有病因都知道，且没有并发症。 定义 称事件族,,21 BB为样本空间 的一个划分（也称,,21 BB为一个完备的事件组），如果满足)(jiBBji 且iiB1。进而，如还有,,2,1,0)(iBPi则称,,21 BB为样本空间 的一个正划分。 一般地，划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和，若划分越细,则相应的信息更详尽。 定理1 (全概率公式) 设事件...,21 BB为样本空间的一个正划分，则对任何一个事件 A,有 )()()(1iiiBAPBPAP 定理2 (Bayes 公式) 设,,21 BB为样本空间 的一个正划分,事件 A 满足P A( ) 0 , 则 )()()()(APBAPBPABPiii． 若将它与全概率公式结合起来, 就是Bayes 公式的以下的常用形式 mjjjiiiBAPBPBAPBPABP1)()()()()( (m, ,2,1im) 公式的直观理解：如果我们把Bi 看成是导致事件A发生的各种可能“原因”，那么，全概率公式告诉我们，事件A发生的概率恰好是事件A在这些“原因”下发生的条件概率的加权平均，其中的权重分别为 P Bi() ．而已知“结果”找“原因”的问题则可以用Bayes 公式来计算。且告诉我们 “ Bi 导致A ”的可能性的大小恰与乘积)()(ABPBPii成比例． 2. 几个典型的例子 2.1 树状图法 例1 某商场出售的灯泡来自甲、乙、丙三个工厂，甲厂产品占 80%，合格...
