2-4 数学竞赛中数论问题(09-10-28)数论是研究自然数一种数学分支.一、数学竞赛中数论问题基本内容重要有 8 个定义、15 条定理.定义 1 (带余除法)给定整数假如有整数满足 ,则和分别称为除以商和余数.尤其,时,则称被整除,记作,或者说是倍数,而是约数.定义 2 (最小公倍数)非零整数最小公倍数是能被其中每一种所整除最小正整数,记作.定义 3 (最大公约数)设整数中至少有一种不等于零,这个数最大公约数是能整除其中每一种整数最大正整数,记作.定理 1 对任意正整数,有 .定义 4 假如整数 满足,则称与是互素(此前也称为互质).定义 5 不不不不大于 1 且除 1 及其自身外没有别正整数因子正整数,称为素数(此前也称为质数).别旳不不不不大于 1 正整数称为合数;数 1 既不是素数也不是合数.定理 2 素数有无穷多种,2 是唯一偶素数.定 义 6 对 于 整 数, 且, 若, 则 称有 关模同 余 , 记作若则称有关模不同样余,记作. 定理 3 (整除性质)设整数为非零整数,(1)若,,则;(2)若,则;(3)若,,则对任意整数,有;(4)若,且,则;(5)若,且,则(6)若为素数,且,则或.定理 4 (同余性质)设为整数,(1)若且,则;(2)若且,则且.(3)若,则对任意正整数有,且;(4)若,且对非零整数有,则.定理 5 设为整数,为正整数,(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则.定义 7 设为正整数,为不不不不大于 2 正整数,是不不不大于非负整数,且.若 ,则称数为进制体现.定理 6 给定整数,对任意正整数,均有唯一进制体现.定理 7 任意一种正整数与它十进制体现中所有数字之和有关模 9 同余.定理 8 (分解唯一性)每个不不不不大于 1 正整数都可分解为素数乘积,并且不计因多次序时,这种体现是唯一 .定 理 9 若 正 整 数素 数 分 解 式 为 则约 数 个 数 为,一切约数之和等于 .定义 8 对任意实数,是不超过最大整数.亦称为整数某些,.定理 10 在正整数素因子分解式中,素数作为因子出现次数是 定理 11 假如素数不能整除整数,则.定理 12 设为素数,对任意整数,有.定理 13 设正整数,则不不不不不大于且与互素正整数个数为 .定理 14 整系数二元一次方程存在整数解充足必要条件是.定理 15 若是整系数二元一次方程一种整数解,则方程一切整数解可以体现为 二. 数学竞赛中数论问题重点类型重要...