精品文档---下载后可任意编辑不等式的证明及著名不等式一、知识梳理1．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 假如 a，b，c 均为正数，那么____，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均________它们的几何平均．(2)基本不等式的推广对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均________它们的几何平均，即____，当且仅当______________时，等号成立．2．柯西不等式一、二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式的变式:精品文档---下载后可任意编辑二、一般形式的柯西不等式三、排序不等式3.贝努利不等式若 x∈R，且 x>－1，x≠0，n>1，n∈N，则(1＋x)n>1＋ .4．证明不等式的方法(1)比较法① 作差：知道 a>b⇔a－b>0，ab，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法．② 作商：由 a>b>0>1⇔且 a>0，b>0，因此当 a>0，b>0 时要证明 a>b，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法．(2)综合法与分析法；(3)反证法、放缩法；(4)数学归纳法．对于一个与自然数相关的命题集合，假如：①证明起始命题成立；②假设时命题成立，证明也成立；那么可以断定该命题对一切自然数成立．二、练习1． (2024·陕西)已知 a，b，m，n 均为正数，且 a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．答案 2解析 由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋)2＝mn(a＋b)2＝2.2． [2024·陕西卷] 设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．精品文档---下载后可任意编辑[解析]由柯西不等式可知(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，即 5(m2＋n2)≥25，当且仅当 an＝bm 时，等号成立，所以 ≥.3． 若 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．答案 解析 (＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.当且仅当 a＝b＝c＝时，等号成立．4.(2024·福建)已知函数 f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]．(1)求 m 的值；(2)若 a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.审题破题 (1)从解不等式 f(x＋2)≥0 出发，将解集和[－1,1]对比求 m；(2)利用柯西不等式证明．(1)解 因为 f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0 等价于|x|≤m.由|x|≤m 有解，得 m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又 f(x＋2)≥0 的解集为[－1,1]，故 m＝1.(2)证明...
