微分几何试卷

1 《微分几何》考试模拟卷（A 卷） 1 等距变换一定是保角变换 2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. 3、二阶微分方程22A( , )2B( , )B( , )0u v duu v dudvu v dv总表示曲面上两族曲线. 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F ，这里F 是第一基本量 1. × 2. √ 3. × 4.× 5. √ 二、 填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、半径为 R 的圆的曲率为_________. 2、曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________, 3、 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是______________. 4、在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足____________________, 5、使法曲率达到最大值和最小值的方向是________________方向. 1、1R ， 2、F=0 ， 3、0FM， 4、EFGLMN， 5、主方向 三、计算题（第1 小题各 18 分，，第2、3、4 小题各 10 分，共 48 分） 1. 已知空间正则参数曲线32( ){cos,sin,cos 2 }r tttt (1) 求基本向量,,   . (2) 求 ( )r t 的曲率和挠率(0)2t . 答：,22{ 3sin cos,3sincos , 2sin 2 }rttttt  ,,2223,,,2332,,,,2{ 3cos6sincos ,6sin cos3sin, 4cos 2 }{21sin cos6sin,6cos21sincos ,8sin 2 }5 sin cos3sin 2 {cos , sin ,}4rtttttttrtttttttrttrrttt  ,,,215 sin 24rrt k 325 sin cosktt425sin costt  2 sin cos{ 3cos ,3sin , 4}5 sin costttttt  443{cos ,sin ,}555tt  sin cos {sin ,cos ,0}sin costttttt 求抛物面 22()za xy在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点. 答：22( , ){ , , ()}r x yx y a xy{1,0, 2}xrax{0,1, 2}yray 1,0,1EFG21EGF{0,0,1}n  2 ,0,2La MNa 0FM 122 ,2ka ka 24Ka2a 设一个曲面的第一基本形式为22222(),dsduuadv求它上面两条曲线0,0uvuv的交角. 4.确定螺旋面cos , sin ,ruv uv cv上的曲率线。 o 解 对于正螺面cos , sin ,ruv uv cv， 22221,0,,0,,0.EFGuccLMNuc 曲率线的方程为2222220dvdudvduuccuc...