微分方程数值解法实验报告 姓名: 班级: 学号: 一:问题描述 求解边值问题: ()2(sincoscossin(0,1) (0,1)0,( , )x yuexyxyGux yG (x,y) 其精确解为)sin()sin(),()(yxeyxuyx 问题一:取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式,用Jacobi迭代法,Gauss_Seidel 迭代法,SOR 迭代法(w=1.45)。求解差分方程,以前后两次重合到小数点后四位的迭代值作为解的近似值,比较三种解法的迭代次数以及差分解)128/1,64/1)(,(hyxuh与精确解的精度。 问题二:取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式,用单参数和双参数 PR 法解差分方程,近似到小数点后四位。与 SOR 法比较精度和迭代步数。 问题三:取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式,用共轭梯度法和预处理共轭梯度法解差分方程,近似到小数点后四位。与 SOR 法与 PR 法比较精度和迭代步数。 二.实验目的: 分别使用五点差分法(Jacobi 迭代,Gauss_Seidel 迭代,SOR 迭代),PR 交替隐式差分法(单参数,双参数),共轭梯度法,预共轭梯度法分别求椭圆方程的数值解。 三.实验原理: (1) Jacobi 迭代法 设线性方程组 (1) 的系数矩阵 A 可逆且主对角元素均不为零,令 bAx nna,...,a,a2211 并将A 分解成 (2) 从而(1)可写成 令 其中. (3) 以为迭代矩阵的迭代法(公式) (4) 称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为 (5 ) 其中为初始向量. (2) Guass-Seidel 迭代法 由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第 i 个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用,从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此,对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德(Gauss-Seidel)迭代法. 把矩阵A 分解成 (6) 其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成 即 其中 (7) 以为迭代矩阵构成的迭代法(公式) (8) nna,...,a,adiagD2211DDAAbxADDx11fxBxbDf,ADIB11111B 111fxBxkk,...,,k,n,...,ixabaxnijj)k(jjiiii)k(i21021111 Tnx,...x,xx002010 kx1kx1kix1111kikx,...,x1k1kx1...