微分方程数值解法实验报告

微分方程数值解法实验报告 姓名： 班级： 学号： 一：问题描述 求解边值问题： ()2(sincoscossin(0,1) (0,1)0,( , )x yuexyxyGux yG （x,y) 其精确解为)sin()sin(),()(yxeyxuyx 问题一：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用Jacobi迭代法，Gauss_Seidel 迭代法，SOR 迭代法（w=1.45）。求解差分方程，以前后两次重合到小数点后四位的迭代值作为解的近似值，比较三种解法的迭代次数以及差分解)128/1,64/1)(,(hyxuh与精确解的精度。 问题二：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用单参数和双参数 PR 法解差分方程，近似到小数点后四位。与 SOR 法比较精度和迭代步数。 问题三：取步长h=k=1/64,1/128,作五点差分格式，用共轭梯度法和预处理共轭梯度法解差分方程，近似到小数点后四位。与 SOR 法与 PR 法比较精度和迭代步数。 二．实验目的： 分别使用五点差分法（Jacobi 迭代，Gauss_Seidel 迭代，SOR 迭代），PR 交替隐式差分法（单参数，双参数），共轭梯度法，预共轭梯度法分别求椭圆方程的数值解。 三．实验原理： (1) Jacobi 迭代法 设线性方程组 (1) 的系数矩阵 A 可逆且主对角元素均不为零,令 bAx nna,...,a,a2211 并将A 分解成 (2) 从而(1)可写成 令 其中. (3) 以为迭代矩阵的迭代法(公式) (4) 称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为 (5 ) 其中为初始向量. (2) Guass-Seidel 迭代法 由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第 i 个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德（Gauss-Seidel）迭代法. 把矩阵A 分解成 (6) 其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成 即 其中 (7) 以为迭代矩阵构成的迭代法(公式) (8) nna,...,a,adiagD2211DDAAbxADDx11fxBxbDf,ADIB11111B 111fxBxkk,...,,k,n,...,ixabaxnijj)k(jjiiii)k(i21021111    Tnx,...x,xx002010  kx1kx1kix1111kikx,...,x1k1kx1...