微分方程的边值问题

微分方程边值问题的数值方法 本部分内容只介绍二阶常微分方程两点边值问题的的打靶法和差分法。 二阶常微分方程为 ( , ,) ,yf x y yaxb (1 .1 ) 当( , ,)f x y y 关于,y y为线性时，即( , ,)( )( )( )f x y yp x yq x yr x，此时(1 .1 )变成线性微分方程 ( )( )( ) ,yp x yq x yr xaxb (1 .2 ) 对于方程(1 .1 )或(1 .2 )，其边界条件有以下3 类： 第一类边界条件为 ( ),( )y ay b (1 .3 ) 当0 或者0 时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第二类边界条件为 ( ),( )y ay b (1 .4 ) 当0 或者0 时称为齐次的，否则称为非齐次的。 第三类边界条件为 0101( )( ),( )( )y ay ay by b (1 .5 ) 其中00000 ,0 ,0，当10 或者10 称为齐次的，否则称为非齐次的。微分方程(1 .1 )或者(1 .2 )附加上第一类，第二类，第三类边界条件，分别称为第一，第二，第三边值问题。 1 打靶法介绍 下面以非线性方程的第一类边值问题(1 .1 )、(1 .3 )为例讨论打靶法，其基本原理是将边值问题转化为相应的初值问题求解。 【原理】假定( )y at，这里 t 为解 ( )y x 在 xa处的斜率，于是初值问题为 ( , ,)( )( )yf x y yy ay at  (1 .6 ) 令 zy，上述二阶方程转化为一阶方程组 ( , , )( )( )yzzf x y zy az at    (1.7) 原问题转化为求合适的t ，使上述初值问题的解( , )y x t 在xb的值满足右端边界条件 ( , )y b t (1.8) 这样初值问题(1.7)的解( , )y x t 就是边值问题(1.1)、(1.3)的解。而对给定的t ，求(1.7)的初值问题可以用欧拉方法、龙格-库塔方法等初值问题的数值解法求解。 理论上( , )y x t 是隐含t 的连续函数，如果 ( , )y x t 已知，要使得(1.8)成立，可以通过求非线性方程(1.8)的零点来得到合适的t ，这可用任何方程求根的方法，例如牛顿法、或者其它迭代法。 实际上，( , )y x t 是很难找到的，因此必须寻找满意的离散解数值解。 下面叙述打靶法的计算过程：（这里 为允许误差，t 的修改使用线性插值方法） Step 1：先设0tt，求解初值问题(1.7)，得到...