第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx 解：被积函数sin3x是一个复合函数，它是由( )sinf uu和( )3uxx复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x变形为'1sin 3sin 3 (3 )3xxx，故有 '111sin 3sin 3 (3 )sin 3(3 )3( cos )333xdxxx dxxdxxuuC 13cos33uxxC 例2：求不定积分22(0)ax dx a 解：为了消去根式，利用三解恒等式22sincos1tt，可令sin ()22xatt ，则 22222sincosaxaatat，cosdxadt，因此，由第二换元积分法，所以积分化为 22222 1 cos 2coscoscos2tax dxatatdtatdtadt 2222cos 2(2 )sin22424aaaadttdtttC 2 (sin cos )2atttC 由于sin ()22xatt ，所以sinxta，arcsin(/ )tx a，利用直角三角形直接写出22cosaxta邻边斜边，于是222221arcsin( / )22aax dxx ax axC 例3：求不定积分sinxxdx 分析：如果被积函数( )sinf xxx中没有x 或sinx，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x，那么利用分部积分公式就可以消去x（因为'1u ） 解令,sinux dvxdx，则dudx，cosvx . 于是sin( cos )( cos )cossinxxdxudvuvvduxxx dxxxxC 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号 ,u v，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sincos( coscos)cossinxxdxxdxxxxdxxxxC 例4：求微分方程21dyydx 的通解。 解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得 12dydxy ，两端积分得：12dydxy ，得11 ln 212yxC 从而 122111ln 21222CxeyxC ye 。 因为122Ce仍然是常数，把它记做 C，故原方程的通解为212xyCe其中 C 为任意常数 例5：求微分方程22dyyxdxx的通解 解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为( )( )(( ))p x dxp x dxyeQ x edxC 在本题中22( ),( )P xQ xxx，由通解公式知 22( )( )2(( ))()dxdxp x dxp x dxxxyeQ x edxCex edxC = 52ln22ln42211()()()5xxxex edxCx dxCCxx 即原方程的通解为：225Cxyx ...
