Fpg第三讲充满活力 0 韦达定理一元二次方程①根与系数①关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出①数学家韦达发现韦达定理简单①形式中包含了丰富①数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数①值；运用韦达定理，求代数式①值；利用韦达定理并结合根①判别式，讨论根①符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题①基本思路.韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩①数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例 1】已知 a、卩是方程 x2-x-1=0① 两个实数根，则代数式 a2+a(p2-2)① 值为.思路点拨所求代数式为 a、卩①非对称式，通过根①定义、一元二次方程①变形转化为(例【例 2】如果 a、b 都是质数，且 a2-13a+m=0，b2-13b+m=0，那么@+—① 值为()abA123125125123 十小A.B.或 2C.D.或 222222222思路点拨可将两个等式相减，得到 a、b① 关系，由于两个等式结构相同，可视 a、b 为方程 x2-13x+m=0① 两实根，这样就为根与系数关系①应用创造了条件.注：应用韦达定理①代数式①值，一般是关于 x、x① 对称式，这类问题可通过变形12用兀+x「〜x2表示求解，而非对称式①求值常用到以下技巧：1212(1) 恰当组合；(2) 根据根①定义降次；(3) 构造对称式.2【例 3】已知关于 x① 方程：x2-(m-2)x-—=04(1) 求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根.(2) 若这个方程①两个实根 x1、x2满足|x2l=|xj+2，求 m① 值及相应① x1、x2.思路点拨对于(2),先判定〜、x2① 符号特征，并从分类讨论入手.12Fpg【例 4】设 xi、x2是方程 2x2-4mx+2m2+3rn-2=0① 两个实数根，当 m 为何值时，X12+x2 有最小值?并求出这个最小值．思路点拨利用根与系数关系把待求式用 m① 代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(厶三。)进行注：应用韦达定理①前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式 420 这一条件，转化是一种重要①数学思想方法，但要注意转化前后问题①等价性．【例 5】已知：四边形 ABCD 中，AB〃CD，且 AB、CD① 长是关于 x① 方程17x2-2mx+(m-2)2+4=0① 两个根.(1)当 m=2 和 m>2 时，四边形 ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由.⑵ 若 M...
