截长补短法例题VIP专享

精品文档---下载后可任意编辑截长补短法例1.已知，如图 1-1，在四边形 ABCD 中，BC＞AB，AD=DC，BD 平分∠ABC.求证：∠BAD +∠BCD=180°.分析：因为平角等于 180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点 E，作 DF⊥BC 于点 F，如图 1-2∵BD 平分∠ABC，∴DE=DF，在 Rt△ADE 与 Rt△CDF 中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF.又∠BAD+∠DAE=180°，∴∠BAD+∠DCF=180°，即∠BAD+∠BCD=180°例2.已知，如图 3-1，∠1=∠2，P 为 BN 上一点，且 PD⊥BC 于点 D，AB+BC=2BD.求证：∠BAP+∠BCP=180°.分析：与例 1 相类似，证两个角的和是 180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点 P 作 PE 垂直 BA 的延长线于点 E，如图 3-2∵∠1=∠2，且 PD⊥BC，∴PE=PD，在 Rt△BPE 与 Rt△BPD 中，图 1-2图 3-1图 1-1图 2-1精品文档---下载后可任意编辑∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL),∴BE=BD.∵AB+BC=2BD ， ∴ AB+BD+DC=BD+BE ， ∴ AB+DC=BE 即DC=BE-AB=AE.在 Rt△APE 与 Rt△CPD 中,∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS),∴∠PAE=∠PCD又∵∠BAP+∠PAE=180°,∴∠BAP+∠BCP=180°例3. 如图 2-1，AD∥BC，点 E 在线段 AB 上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD 上截取CF=CB，只要再证 DF=DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在 CD 上截取 CF=BC，如图 2-2在△FCE 与△BCE 中，图 3-2精品文档---下载后可任意编辑∴△FCE≌△BCE（SAS）,∴∠2=∠1.又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠CDE=90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE 与△ADE 中，∴△FDE≌△ADE（ASA），∴DF=DA，∵CD=DF+CF，∴CD=AD+BC.例4.已知：如图 4-1，在△ABC 中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长 AC 至 E 使 CE=CD，或在 AB 上截取 AF=AC.证明：方法一（补短法）延长 AC 到 E，使 DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图 4-2∴∠ACB＝2∠E，∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，在△ABD 与△AED 中,图 2-2图 4-1图 4-2精品文档---下载后可任意编辑∴△ABD≌△AED（AAS）,∴AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC，∴AB=AC+DC.方法二（截长法）在 AB 上截取 AF=AC，如图 4-3在△AFD 与△ACD 中,∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FDB＝∠B，∴FD=FB.∵AB=AF+FB=AC+FD，∴AB=AC+CD.图 4-3