2025年初中数学竞赛标准教程及练习基本对称式

初中数学竞赛精品原则教程及练习（50）基本对称式一、内容提纲1.上一讲介紹了对称式和轮换式定义和性质. 形如 x+y 和 xy 是两个变量 x, y 基本对称式.2.含两个变量所有对称式，都可以用相似变量基本对称式来体现.例如 x2+y2, x3+y3， (2x－5)(2y－5)， －， ……都是含两个变量对称式，它们都可以用相似变量 x,y 基本对称式来体现：x2+y2＝（x+y）2－2xy， x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，(2x－5)(2y－5)＝4xy－10(x+y)+25, －=－， ==.3.设 x+y=m， xy=n.则 x2+y2＝（x+y）2－2xy＝m2－2n；x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)=m3－3mn；x4+y4＝（x2+y2）2－2x2y2＝m4－4m2n+2n2；x5+y5＝（x2+y2）(x3+y3)－x2y2(x+y)=m5－5m3n+5mn2； ………一般地，xn+yn (n 为正整数)用基本对称式体现可建立递推公式：xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)－xy(xk－1+yk－1) (k 为正整数).4.含 x, y 对称式，x+y， xy 这三个代数式之间，任意懂得两式，可求第三式.二、例题例1.已知 x=(+1)， y= 求下列代数式值： ① x3+x2y+xy2+y3 ； ② x2 (2y+3)+y2(2x+3).解： 含两个变量对称式都可以用相似变量基本对称式来体现. ∴先求出 x+y=， xy=.① x3+x2y+xy2+y3 ＝（x+y）3－2xy(x+y)=()3－2×=2； ② x2 (2y+3)+y2(2x+3)＝2x2y+3x2+2xy2+3y2=3(x2+y2)+2xy(x+y)=3［（x+y）2－2xy］+2xy(x+y)=3［（）2×＝－6.例2.解方程组分析：可由 x3+y3，x+y 求出 xy，再由基本对称式，求两个变量 x 和 y.解： x3+y3,＝（x+y）3－3xy(x+y) ③把①和②代入③，得35＝53－15xy.∴xy=6.解方程组 得 或.例3.化简 ＋.解：设＝x， =y. 那么 x3+y3=40， xy==2. x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)， ∴ 40＝（x+y）3－6（x＋y）.设 x+y=u， 得 u3－6u－40=0 . (u－4)(u2+4u+10)=0. u2+4u+10=0 没有实数根， ∴u－4＝0, u＝4 . ∴x+y=4. 即 ＋＝4.例4.a 取什么值时，方程 x2－ax+a－2=0 两根差绝对值最小？其最小值是什么？解：设方程两根为 x1, x2 . 根据韦达定理， 得 ＝＝＝，∴当 a=2 时， 有最小值是 2.三、练习 501. 已知 x－y=a， xy=b. 则 x2+y2=______ ； x3－y3=______.2. 若 x+y=1， x2+y2=2. 则 x3+y3=_______； x5+y5=______.3. 假如 x+y=－2k， xy=4，. 则 k=_____.4. 已知 x+=4， 那么 x－=____ ， =＿＿＿.5.若.＝a, 那么 x+=______, =＿＿＿.6.已知：a=， b=.求：...