2025年初中数学竞赛标准教程及练习递推公式

初中数学竞赛精品原则教程及练习(23)递推公式一、内容提纲1．先看一例：a1=b,a2=,a3=…… an+1=这里a1,a2,a3……an,an+1是对应于正整数1，2，3……n,n+1 有序一列数（右下标数字体现第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其她各项数值。例如：若 a1=10，则a2==,a3=10,a4=,a5=10…… 2. 为了计算以便，一般把递推公式写成以a1和n体现an形式，这可用经验归纳法。 例如：把递推公式an+1=an+5改为用a1 和n来体现∵a2=a1+5, ∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5， a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5…… ∴an=a1+(n-1)5假如 已知a1=10，求a20,显然代入这一公式以便。A20=10+19×5=1053.有一类问题它与正整多次序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。二、例题例1.已知：a1=2，an=an-1+2(n-1) (n≥2) 求：a100值 解：a100=a99+2×99 =a98+2×98+2×99 =…… =a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99 =2+2×=9902 又解：a2=a1+2×1 a3=a2+2 ×2=(a1+2×1)+2×2 a4=a3+2×3=(a1+2×1+2×2)+2×3 …… a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99 =2+2(1+2+3+……+99)=9902例2.已知：x1=97， 对于自然数n>1， xn= 求：x1x2x3·……·x8值 解：由递推公式xn=可知 x1x2=x1=2 x3x4=x3=4 x5x6=x5=6 x7x8=x7=8 ∴x1x2x3·……·x8=2×4×6 ×8=384例3.已知：100个自然数a1,a2,a3……a100满足等式(n-2)an－（n－1）an-1+1=0 (2≤n≤100)并且a100=199 求：a1＋a2＋a3＋……＋a100分析：已知等式是一种递推公式，用后项体现前项：an-1= 可由a100求a99,a98……解：a99===197 a98===195用同样措施求得a97=193， a96=191,……a1=1∴a1＋a2＋a3＋……＋a100＝1＋3＋5＋……＋195＋197＋199 ＝＝104三、练习231.已知 a1=1，a2=1，且an+2=an+1+an 那么 a3=___,a4=____,a5=_____,a6=_____,a7=_____2.若a1=2m，an= 则a2=__,a3=__,a4=__,a5=__,a1989×a1990=___3. n为正整数，有递推公式an+1=an－3，试用a1,n体现第n项an4. 已知 a1=10，an+1=2an 求a105. 已知 f(2)=1，f(n+1)=f(n)+n， 求 f(10)6.设x+y=a1， x2+y2=a2， …… xn+yn=an， xy=6，则a2=a12－2b,有递推公式an+1=a1an－ban-1，试按本公式求出：用a,b体现a3，a4，a5，a6根据下列数据特点，写出递推公式：① a1=1，a2=4，a3=7， a4=10……an=＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿ ② a1=1，a2=3，a3=6， a4=10……an=＿＿＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿＿7.n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其她各人各赛一场）试用递推公式体现比赛场数。8.平面内n条直线两两相交，最多有几种交点？试用递推公式体现。练习23参照答案：1. 2，3，5，8，13 2. ，2m，，2m， 23. an=a1-3((n-1) 4. a10=29×10＝51205 f(10)=1+2+3+……＋9＝45 6. a3=a13-3a1b， ……a6=a16-6a14b+9a12b2-2b37. ①a n=a n-1+3， an+1=a1+3 ②a n=a n-1+n ， a n-1=a n+(n+1)8. f(n+1)=f(n)+n， 9.同上， f(1)=0,f(2)=1,f(3)=f(2)+2,f(4)=f(3)+3,……f(n)=f(n-1)+n-1