《实变函数论》习题选解VIP专享VIP免费

《实变函数论》习题选解一、集合与基数1.证明集合关系式：（1）；（2）；（3）；（4）问成立的充要条件是什么？证（1） ，（对偶律），（交对并的分配律），∴.（2）.（3）.（4）.证必要性（左推右，用反证法）：若，则但，从而，，于是；但，从而左边不等式不成立，矛盾！充分性（右推左，显然）：事实上， ，∴，如图所示：故.2.设，试证一切排列所成之集的势（基数）为.证记为所有排列所成之集，对任一排列，令，特别，，，即对每一排列对应于区间上的一个2进小数，则是一一对应（双射），从而集合与集合对等（即～），而对等的集合有相同的基数，故.3.证明：整系数多项式的全体是可列的（可数的）.证对任一，次多项式对应于一个序列：，而每个取自可数集，因此，全体次整系数多项式是有限个（个）可数集之并集，仍是可数的.故全体整系数多项式所构成的集合就是可数个可数集之并集，由定理1.3.8可知：它仍是可数的.4.设表示区间上一切连续函数所成之集，试证它的势为.证首先，对任意实数，看作常值连续函数，，∴，即；另一方面，实数列全体之集的基数，为证，只需证与的一个子集对等即可.事实上，把中的有理数排列成.对任何，则由它在处的值所完全确定.这是因为中是稠密的，即对任何，存在上述有理数列的一个子列，由的连续性知：.现在，作映射，，则是单射，而集是全体实数列的一个子集，故～，即.综上可知：.附注①若，，又：～，：～.则存在：～；假如，，的意义同前，问是否存在到的一一对应？解若，，令则就是到的一一对应.若，，则与之间不一定存在一一对应.例如：，，，则是到的一一对应，是到的一一对应.但，显然与之间不存在任何一一对应.②几个常见的一一对应：（ⅰ）～，；～，；（ⅱ）～，将中的有理数排列为，而中的有理数排列为.作其间的对应如下：则是与间的一一对应.注意这种一定不是连续的（为什么？）.（ⅲ）～，.这是因为任一自然数均可唯一表示为（非负整数，正奇数），而对非负整数，正奇数，又有唯一的使得.（ⅳ），则.证.；设为的任一子集，为的特征函数，即当均为的子集，时，.记，，则～，.而，从而有，即...对每一，有平面上一点集（即的图形）与之对应.记，则～，.为平面上一切点集全体的子集，而，从而有.综合，立知.附注此题提供了证明两个无限集对等的一般方法，这便是Cantor-Bernstein定理.其特殊情况是：若，而～，则～（此结果更便于应用）.5.试证任何点集的内点全体组成的集是开集.证设集的内点集为（称为的内部），下证为开集.，由内点的定义，存在的邻域.现作集，则显然为开集，且.另一方面，对任意，存在，使得，所以，为的内点，即，也就是说.综上有为开集.6.开映射是否连续？连续映射是否开？解开映射未必连续.例：在每个区间上作Cantor三分集，且令，而，，则为开集.又设的构成区间为.（教材P21例1中的Cantor集即本题中的）现在上定义函数则在上映开集为开集，但并不连续.事实上，若开区间含于某个构成区间内，则就映为开区间；若开区间中含有中的点，则就映为.然而中的每个点都是的不连续点.又连续映射未必为开映射.例：在上连续，但开集的像为非开非闭.7.设是Cantor集的补集中构成区间的中点所成的集，求.解.分以下三步：①设Cantor集为，其补集（或叫余集）为，则.考察中的点的三进制表示法，设（）.由Cantor集的构造知：当时，的小数点后任一位数字都不是1，因而可设；当时，可设；特别，对于的构成区间的右端点有；对于的构成区间的左端点有.由此可见，，且当时，有.②下证Cantor集中的点都是的极限点：对，由于，取，则.由于与的小数点后前位小数相同，从而，故当时，有，即，∴，即.③下证，有.事实上，有两种情况：10.若，则只能是的构成区间的中点，即.由Cantor集的构造知：对，都有，所以，；20.若且，则，于是，，有，所以，.故中的点不属于.综上所述，我们有：中的点都是的极限点，不在中的点都不是的极限点，从而.8.设点集列是有限区间中的非空渐缩闭集列（降列），试证.证用反证法：若，则，从而为有界渐张开集列（升列），且覆盖，由数学分析中的“有限覆盖定理”（Borel）可知：存在子覆盖，使得，即.∴，从而，故...