抛物线考点与题型归纳

抛物线考点与题型归纳 一、基础知识 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l(点F 不在直线l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物 线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 方程 图形 p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 顶点 O(0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2 离心率 e＝1 准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其 中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2 |PF|＝－y0＋p2 二、常用结论 与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 设 AB 是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，α 为弦 AB 的倾斜角．则 (1)x1x2＝p24 ，y1y2＝－p2. (2)|AF|＝p1－cos α，|BF|＝p1＋cos α. (3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α. (4) 1|AF|＋1|BF|＝2p. (5)以弦AB 为直径的圆与准线相切． 考点一 抛物线的定义及应用 [典例] (1)若抛物线y2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP的面积为( ) A.12 B．1 C.32 D．2 (2)设P 是抛物线y2＝4x 上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． [解析] (1)设 P(xP， yP)， 由 题 可 得 抛 物 线 焦 点 为 F(1,0)， 准 线 方 程 为 x＝ － 1. 又 点 P 到 焦 点 F 的 距 离 为 2， ∴由 定 义 知 点 P 到 准 线 的 距 离 为 2. ∴xP＋ 1＝ 2， ∴xP＝ 1. 代 入 抛 物 线 方 程 得 |yP|＝ 2， ∴△OFP 的 面 积 为 S＝ 12·|OF|·|yP|＝ 12×1×2＝ 1. (2)如 图 ， 过 点 B 作 BQ 垂 直 准 线 于 点 Q， 交 抛 物 线 于 点 P1， 则 |P1Q|＝ |P1F|.则 有 |PB|＋|PF|≥|P1B|＋ |P1Q|＝ |BQ|＝ 4， 即 |PB|＋ |PF|的 最 小 值 为 4. [答案] (1)B (2)4 [变透练清] 1．若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A(x0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3 倍，则p 等于( ) A.12 B．1 C.32 D．2 解析：选D 由 抛 物 线y2＝ 2px 知 其 准 线 方 程 为x＝ ...