抽象函数常见题型解法 1 / 29 高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型： 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。 例 1 定义在 R 上的函数 f x( ) 满足：f xfx( )()4且 fxf x()()220，求 f ()2000 的值。 解：由 fxf x()()220， 以tx 2 代入，有 ftf t()( )， f x( ) 为奇函数且有 f ( )00 又由 f xfx()[()] 44 fxf xf xf xf x()( )()()( )84 故 f x( ) 是周期为 8 的周期函数， ff()( )200000 例 2 已知函数 f x( ) 对任意实数 xy， 都有 f xyf xf y()( )( )，且当 x 0抽象函数常见题型解法 2 / 29 时， f xf( )() 012，，求 f x( ) 在[]21，上的值域。 解：设 xx12 且 xxR12，， 则 xx210， 由条件当 x 0时， f x( ) 0 f xx()210 又 f xfxxx()[()]2211 f xxf xf x()()()2111 f x( ) 为增函数， 令 yx ，则 ff xfx( )( )()0 又令 xy 0 得 f ( )00 fxf x()( )， 故 f x( ) 为奇函数， ff( )( )112 ， ff()() 2214 f x( )[]在，21 上的值域为 []42， 二. 求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 抽象函数常见题型解法 3 / 29 例 3 已知 f x( ) 是定义在（ 11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足 f afa()()2402，试确定a 的取值范围。 解： f x( ) 是偶函数，且在（0，1）上是增函数， f x( ) 在()10，上是减函数， 由 1211412aa得35a。 （1）...
