§ 2 收敛数列的性质 教学内容:收敛数列的性质,四则运算法则,子数列。 教学要求:使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性;掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理,并会用这些定理求某些收敛数列的极限;清楚子列概念,明确数列与其子列敛散性关系。 教学重点:迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点:数列极限的计算。 教学方法:讲练结合。 教学学时:4 学时。 引 言 上节引进“数列极限”的定义,并通过例题说明了验证limnnaa的方法,这是极限较基本的内容,要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。 一、收敛数列的性质: 定理2 .2 (唯一性)若数列 na收敛,则它只有一个极限。 分析:设数列 na有两个极限ba,,只需证明ba ,即证ba可小于任一给定充分小的数。 证明:设aannlim与bannlim,根据数列极限的定义,有 .,,.,,,02211baNnNNaaNnNNnn有有 取21,maxNNN .同时有,N baaann,,于是, ,N2)()(baaabaaabannnn, 这就说明ba ,从而收敛数列的极限唯一。 定理2 .3 (有界性)若数列 na收敛,则 na为有界数列。 分析:即证.,,0MaNnMn 都有 证明:设aannlim,根据数列极限定义,对10=,NN,Nn,有1 aan,从而 Nn,有aaaaaaaannn1,取1,,,,max21aaaaMN, 于是,.,MaNnn 都有 即收敛数列必为有界数列。 注:有界性只是数列收敛的必要条件,而非充分重要条件。例如数列( 1)n有界,但它不收敛。 定理2 .4 (保号性)若lim0nnaa(或0a),则对任何(0, )aa(或( ,0)aa),存在正数N,使得 当 nN时有naa(或naa)。 证明:设0a,取)0('0aa,则0N,Nn,有'aaan,这就证得结果。对于0a, 的情形,也可类似地证之。 注:应用保号性时,经常取 .2'aa 定理2 .5 (保不等式性)设数列 na与 nb均收敛,若存在正数0N ,使得当0nN时有nnab,则limlimnnnnab。 证明:设aannlim,bannlim,则0,bbNnNaaNnNnn时有:使得当...