收敛数列的性质(经典课件)

§ ２ 收敛数列的性质 教学内容：收敛数列的性质，四则运算法则，子数列。 教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点：数列极限的计算。 教学方法：讲练结合。 教学学时：4 学时。  引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证limnnaa的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。 一、收敛数列的性质： 定理2 .2 （唯一性）若数列 na收敛，则它只有一个极限。 分析：设数列 na有两个极限ba,，只需证明ba ，即证ba可小于任一给定充分小的数。 证明：设aannlim与bannlim，根据数列极限的定义，有 .,,.,,,02211baNnNNaaNnNNnn有有 取21,maxNNN .同时有,N baaann,,于是， ,N2)()(baaabaaabannnn， 这就说明ba ，从而收敛数列的极限唯一。 定理2 .3 （有界性）若数列 na收敛，则 na为有界数列。 分析：即证.,,0MaNnMn 都有 证明：设aannlim，根据数列极限定义，对10＝，NN，Nn，有1 aan，从而 Nn，有aaaaaaaannn1，取1,,,,max21aaaaMN， 于是，.,MaNnn 都有 即收敛数列必为有界数列。 注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列( 1)n有界，但它不收敛。 定理2 .4 （保号性）若lim0nnaa（或0a），则对任何(0, )aa（或( ,0)aa），存在正数Ｎ，使得 当 nN时有naa（或naa）。 证明：设0a，取)0('0aa，则0N，Nn，有'aaan，这就证得结果。对于0a， 的情形，也可类似地证之。 注：应用保号性时，经常取 .2'aa  定理2 .5 （保不等式性）设数列 na与 nb均收敛，若存在正数0N ，使得当0nN时有nnab，则limlimnnnnab。 证明：设aannlim，bannlim，则0，bbNnNaaNnNnn时有：使得当...