-年八年级数学竞赛讲座 第十三讲 从勾股定理谈起 人教新课标版 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，大概在公元前 1100 数年前，商高已经证明了一般意义下的勾股定理，在国外把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”． 勾股定理是平面几何中一种重要定理，其广泛的应用体目前：勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的重要措施，运用勾股 定理的逆定理，通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手段． 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系)，30°角所对的直角边等于斜边的二分之一(边角关系)，这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用． 例题求解 【例 1】如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 为边向内作等边△ABD，连结 DC，以 DC为边作等边△DCE，B、E 在 CD 的同侧，若 AB=，则 BE= ． (重庆市中考题) 思绪点拨 因 BE 不是直 角三角形的边，故不能用勾股定理直接计算，需找出与 BE 相等的线段转化问题． 注 千百年来，勾股定理的证明吸引着数学爱好者，目前有 400 多种证法，许多证法的共同特点是通过弦图的割补、借助面积加以证明，美国第 20 任总统加菲尔德(1831—1881)曾给出一种简单证法． 勾股定理的发现是各族人民初期文明的特征，有人提议，未来与“外星人”交往，可以把勾股定理转化为光电讯号，传向异域，他们一定懂得勾股定理．现已确定的 8 月在北京举行的国际数学家大会的会标来源于弦图的图案． 【例 2】 8 月在北京召开的国际数学家大会会标取 材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一种大正方形 (如图所示)．假如 大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为 b，那么(a+b)2的值为( ) A．13 B ．19 C．25 D．169 (山东省中考题)思绪点拨 运用勾股定理、面积关系建立 a、b 的方程组． 【例 3】 如图，P 为△ABC 边 BC 上的一点，且 PC＝2PB， 已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB 的度数． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思绪点拨 不也许简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，解本例的关键是由条件构造出含 30°角的直角三角形． 【 例 4 】 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ ACB=90° ， CD⊥AB 于 D ， 设 AC ＝ b ， BC ...
