椭圆性质总结及习题

椭 圆 重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程及椭圆的参数方程； 难点：用椭圆的定义及基本性质求椭圆的方程。 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F1，F2 的距离的和等于定长212FFa 的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|} ；（212FFa 时为线段21FF，212FFa 无轨迹）。其中两定点F1，F2 叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1 的正常数的点的轨迹，即点集M={P| edPF ，0＜e＜1 的常数。（1e为抛物线；1e为双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222 byax（a＞b＞0）； 焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中22bac（一个Rt） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222bxay（a＞b＞0）； 焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中22bac 注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，22bac并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当 A＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A＞B 时焦点在y 轴上。 3 ．参数方程 ：椭圆12222byax)0( ba的参数方程 sincosbyax )( 为参数 4 .性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222byax（a＞b＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a，|y|≤b； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）； ③ 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（a 半长轴长，b 半短轴长）； ④ 准线方程： cax2；或cay2 ⑤ 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=左r=a+ex0，|PF2|=右r=a-ex0；|PF1|=下r =a+ey0，|PF2|=上r=a-ey0;caPFcaPFminmax, 平面几何性质： ⑥ 离心率：e= ac （焦距与长轴长之比）  1,0；e 越大越______，0e是_____。 ⑦ 焦准距cbp2；准线间距ca 22 二、焦点三角形 结论一：若1F 、2F 是椭圆)0(12222babyax的两个焦点，P 是椭圆上一点，且21PFF，当点 P 位于___________时 最大，cos =______________. |PF1||PF2|的最大值为______________. 2tan221bSPFF 结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为__________。 三．中点弦问题 AB 是椭圆22221(0)xyabab的一条弦，中点...