椭圆的焦半径公式及其拓展

1 椭圆的焦半径公式及其拓展 1 . 焦半径：连结椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径。 2 . 焦半径公式： （1 ）),(00 yxP是椭圆)0(12222babyax上一点，)0,(),0,(21cFcF 是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则0201,exaPFexaPF. （2 ）),(00 yxP是椭圆)0(12222babxay上一点，),0(),,0(21cFcF是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则0201,-eyaPFeyaPF. 推导过程：（以 x 型椭圆方程为例进行推导） 方法一：利用椭圆的标准方程推导 由两点间距离公式，可知20201)(ycxPF， 根据椭圆方程)0(12222babyax，解得)(22222xaaby 故)(2022220xaaby 将上式代入20201)(ycxPF 可得：)(0001axaexaxacaPF 同理可得：)(--0002axaexaxacaPF 方法二：利用椭圆的第二定义 2 椭圆的左准线方程为：cax2，设点),(00 yxP到左准线的距离为PD 由椭圆的第二定义：)(002011axaexacaxePDePFePDPF 同理可得：)(-002axaexaPF 五、典型例题 例 1 ：在椭圆18422 yx上有一个点P ，满足 P 到一个焦点的距离是到另一个焦点距离的3 倍，则点P 的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【推荐理由】可以直观对比出运用焦半径公式的优越性，且同时考查了椭圆的对称性，学生容易漏情况，是易错题. 解法一：根据椭圆方程：18422 yx可知，椭圆焦点为)2,0()2,0(和 设 ),(nmP，则有18422 nm 且2222)2(3)2(nmnm或2222)2-(3)2(nmnm 解两次二次方程可得：)2,2()2,2(PP或 解法二：设椭圆度上下焦点分别为21 , FF，点 ),(nmP 由椭圆方程可知：22,2,22eca 3 利用焦半径公式：,2222,22-2221nPFnPF 由题意可得：212133PFPFPFPF或 解一元一次方程可得：2n 所以)2,2()2,2(PP或 【思路点拨】1 .椭圆上的点到焦点的距离即是焦半径的概念，很直接联系到焦半径公式； 2 .本题明确到P 上、下焦点的距离哪个大，故要分类讨论，或者根据椭圆的对称性直接得到结果，需要考虑全面，否则容易漏解，这是本题的易错点. 【点评】本题的两种解法对比可以看出，对比利用距离公式，利用焦半径达到了降次的作用，大大化简了计算过程，可以让学生简洁高效地求解。 例2 ：在 平 面 四 边 形 ABCD 中 ，已 知3,2,4,1DACDBCAB...