概率论与数理统计在数学建模中的应用 ——国 冰 。 第一节 概率模型 一、初等概率模型 初等概率模型主要介绍了可靠性模型、传染病流行估计、常染色体遗传模型等三类问题： 1、复合系统工作的可靠性问题的数学模型 设某种机器的工作系统由 N 个部件组成，各部件之间是串联的，即只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作．为了提高系统的可靠性，在每个部件上都装有主要元件的备用件及自动投入装置(即当所使用元件损坏时，备用元件可自动替代之而开始工作)明显地，备用件越多，整个系统正常工作的可靠性就越大. 但是，备用件过多势必导至整个系统的成本、重量和体积相应增大，工作精度也会降低. 因此，配置的最优化问题便被提出来了：在某些限制性条件之下，如何确定各部件的备用件数量，使整个系统的工作可靠性最大? 这是一个整体系统的可靠性问题.我们假设第 i 个部件上装有ix 个备用件(1,2,,)iN,此时该部件正常工作的概率为()ip x ，那么 整个系统正常工作的可靠度便可用 1( )niipp x （ 9.1） 来表 示 . 又 设第i 个部件上的每个备用件的费 用为iC ，重量为iW ，并 要求 总 费 用不超过C ，总 重量不超 过W ，则 问题的数学模型便写 成为 1max( )niipp x （ 9.2） 11. .,1 ,2 ,NiiiNiiiic xcs tw xcxN iN 问题的目标函数为非线性的，决策变量取整数，属于非线性整数规划问题。 2、传染病流行估计的数学模型 问题分析和模型假设 本世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地方流行。被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家们建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程，以便对这些问题做出回答。 这里不是从医学角度探讨每一种瘟疫的传染机理，而是利用概率论的知识讨论传染病的蔓延过程。 假定人群中有病人或更确切地说是带菌者，也有健康人，即可能感染者，任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的. 问题在于一旦掌握了随机规律，那么如何去估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大? 给 出以下 假设 （ 1） 设人群只 分病人和健康人两类 ，病人数和健康人数分别 记 为i 和 s ，总数n 不变，即 isn （ 9.3） （ 2） 人群中任何二 人的接触是相 互 独 立的，具 ...
