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求函数定义域,值域等总结

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(一)求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是 y =f(x ),不能把它写成 f(x ,y )=0; 2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形; 3、求函数解析式的一般方法有: (1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出 y 。 (2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值; (3)换元法:若给出了复合函数f[g(x )]的表达式,求f(x )的表达式时可以令 t=g(x ),以换元法解之; (4)构造方程组法:若给出 f(x )和 f(-x ),或 f(x )和 f(1/x )的一个方程,则可以 x代换-x (或 1/x ),构造出另一个方程,解此方程组,消去 f(-x )(或 f(1/x ))即可求出f(x )的表达式; (5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出 y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。 (二)求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示; 2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题; 3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负数,等等; 4、对复合函数y =f[g(x )]的定义域的求解,应先由 y =f(u )求出 u 的范围,即 g(x )的范围,再从中解出 x 的范围 I1;再由 g(x )求出 y =g(x )的定义域 I2,I1 和 I2 的交集即为复合函数的定义域; 5、分段函数的定义域是各个区间的并集; 6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明; 7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域; (三)求函数的值域 1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示; 2、在函数f:A→B 中,集合B 未...

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