求函数最值的常用方法

求函数最值的常用以下方法： 1．函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现． 例1 设a>1，函数f(x)＝logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________. 【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a 的值． 【解析】 a>1，∴函数f(x)＝logax 在区间[a,2a]上是增函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为loga2a，logaa＝1.∴loga2＝12，a＝4.故填 4. 【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m，n]上的最值：若函数f(x)在[m，n]上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理． 2．换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如 可用三角代换解决形如 a2＋ b2＝1 及部 分根式函数形式的最值问题． 例2 (1)函数f(x)＝x＋ 2 1－ x的最大值为________． 【解析】 方法一：设1－ x＝t(t≥ 0)， ∴x＝1－ t2， ∴y＝x＋ 2 1－ x＝1－ t2＋ 2t ＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2， ∴当t＝1 即x＝0 时，ymax＝2. 方法二：f(x)的定义域为{x|x≤1}， f′(x)＝1－11－x， 由f′(x)＝0 得x＝0. 0＜x≤1 时，f′(x)＜0，f(x)为减函数． x＜0 时，f′(x)＞0，f(x)为增函数． ∴当x＝0 时，f(x)max＝f(0)＝2. (2)求函数y＝x＋4－x2的值域． 【解析】 换元法：由4－x2≥0 得－2≤x≤2，∴设x＝2cosθ(θ∈[0，π])，则 y＝2cosθ＋4－4cos2θ＝2cosθ＋2sinθ＝2 2sin(θ＋π4 )， θ＋π4 ∈[π4 ，5π4 ] ∴sin(θ＋π4 )∈[－22 ，1]，∴y∈[－2,2 2]． 3.配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F...