2025年第34届全国中学生物理竞赛决赛真题几答案解析

1k02π2πm m 1ma  mb k 0a b第34 届全国中学生物理竞赛决赛试题与参照解答 一、（35 分）如图，质量分别为ma 、mb 的小球a 、b 放置在光滑绝缘水平面上，两球之间用一原长为l0 、劲度系数为k0 的绝缘轻弹簧连接.（1） t 0 时，弹簧处在原长，小球 a 有一沿两球连线向右的初速度v0 ，小球b 静止。若运动过程中弹簧一直处在弹性形变范围内，求两球在任一时刻t(t 0) 的速度。(2）若让两小球带等量同号电荷，系统平衡时弹簧长度为 L0 ，记静电力常量为 K 。求小球所带电荷量和两球与弹簧构成的系统做微振动的频率（极化电荷的影响可忽视）。参照解答：（1）如图， t 时刻弹簧的伸长量为u  l  l0有d 2u dt2式中   k0u①ma mb②ma  mb为两小球的约化质量。由①②式知，弹簧的伸长量u 服从简谐振动的动力学方程，振动频率为f  2π ③最终一步运用了②式。t 时刻弹簧的伸长量u 的体现式为u  Asin t  B cost④式中 A 、B 为待定常量.t 0 时,弹簧处在原长，即u（0）  B 0将 B 0 代入④式得a 相对于b 的速度为u  Asin t⑤v   dra  drb  du  A cost⑥adtdtdtt 0 时有k0 (L  l )K00L va （0)  v0  0  A ⑦由⑥⑦式得va  v0 cost ⑧系统在运动过程中动量守恒小球 a 相对于地面的速度为ma v0  ma va  mbvb⑨va  va  vb ⑩由③⑧⑨⑩式可得, t 时刻小球 a 和小球b 的速度分别为 m (m  m )k mv  1  b cos a a b 0 t  a v⑪ mm m  m  m0aa b  (m  m ）k   abmv 1 cos  b a b 0 t  a v⑫m m  m  m0a b  ab(2）若两球带等量同号电荷,电荷量为 q ，系统平衡时有q2K 2 k0 (L0 l0 ）⑬0由⑬式得设t 时刻弹簧的长度为 L （见图 II）,有q  L0⑭d 2 Lq2dt2  k0 (L  l0 )  K L2⑮图 II令 x  L  L0 为t 时刻弹簧相对平衡时弹簧长度 L0 的伸长量，⑮式可改写为d 2 xq2 x 2dt2  k0 x  k0 (L0  l0 )  K L2 1  L ⑯系统做微振动时有0 0 x因而x 2x  x 2 1  L  1 ...