电磁场理论习题

电磁场理论习题 一 1、求函数=xy+z-xyz在点（1，1，2）处沿方向角=3，4 ，3 的方向的方向导数. 解：由于 Mx =y－Myz= -1 My=2xy－(1,1,2)xz=0 Mz=2z(1,1,2)xy=3 1cos2 ，2cos2 ，1cos2  所以 1coscoscoszyxlM 2、 求函数 ＝xyz 在点（5, 1, 2）处沿着点（5, 1, 2）到点（9, 4, 19）的方向的方向导数。 解：指定方向 l 的方向矢量为 l＝(9－5) ex+(4－1)ey+(19－2)ez ＝4ex+3ey+17ez 其单位矢量 zyxzyxeeeeeel314731433144coscoscos 5,10,2)2,1,5(MMMMMxyzxzyyzx 所求方向导数 314123coscoscos•lzyxlM 3、 已知 =x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求在点（0，0，0）和点（1，1，1）处的梯度。 解：由于  =(2x+y+3) ex+(4y+x-2)ey+(6z-6)ez 所以，(0,0,0)=3ex-2ey-6ez (1,1,1)=6ex+3ey 4、运用散度定理计算下列积分： 2232[()(2)]xyzsxz ex yz exyy z edsI= S 是 z=0 和 z=(a2-x2-y2)1/2 所围成的半球区域的外表面。 解：设：A=xz2ex+(x2y-z3)ey+(2xy+y2z)ez 则由散度定理sA ds= Adv 可得2Ir dv222Adv (z+x+y)dv 224422000000sinsinaardrd dddr dr    525a 5、试求▽·A 和▽×A: (1) A=xy2z3ex+x3zey+x2y2ez (2) 22( , , )cossinzAzee  (3 ) 211( , , )sinsincosrA rreeerr  解：（1）▽·A=y2z3+0+0= y2z3 ▽×A=23232(2)(23)xyx yx exyxy z exyz2 332 2eeexyzxyz xz xy (2) ▽·A=()[()]zAAAz1 =33[(cos )(sin )]1=3 cos ▽×A=zzeee1zAAA =221cos0zeeezsin =cos2sinsinzeee (3) ▽·A=22(sin)()1[sin]sinrAAr Arrrr =2322sincos()()1(sin )[sin]sinrrrrrrr =222212[3sin2sincos ]3sincossinrrr ▽×A=21sinrr...