2025年初中数学竞赛辅导讲义及习题解答辅助圆

第二十五讲 辅助圆 在处理平面几何中许多问题时，常需要借助于圆性质，问题才得以处理．而咱们需要圆并不存在(有时题设中没有波及圆；有时虽然题设波及圆，不过此圆并不是咱们需要用圆)，这就需要咱们运用已知条件，借助图形把需要实际存在圆找出来，添补辅助圆常用措施有： 1．运用圆定义添补辅助圆； 2．作三角形外接圆； 3．运用四点共圆鉴定措施： (1)若一种四边形一组对角互补，则它四个顶点共圆． (2)同底同侧张等角三角形，各顶点共圆． (3)若四边形 ABCD 对角线相交于 P，且 PA·PC=PB·PD，则它四个顶点共圆． (4)若四边形 ABCD 一组对边 AB、DC 延长线相交于 P，且 PA·PB＝PC·PD，则它四个顶点共圆．【例题求解】【例 1】如图，直线 AB 和 AC 与⊙O 分别相切于 B、C，P 为圆上一点，P 到 AB、AC 距离分别为 4cm、6cm，那么 P 到 BC 距离为 ． 思绪点拨 连 DF，EF，寻找 PD、PE、PF 之间关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F 与 P、E、C、F 分别共圆，突破角是解题关键．注：圆具有丰富性质：(1)圆对称性；(2)等圆或同圆中不同样名称量转化； (3)与圆有关角；(4)圆中比例线段．恰当发现并添出辅助圆，就为圆丰富性质运用发明了条件，由于图形复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”． 【例 2】 如图，若 PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC 与 PB 交于点 P，且 PB=4，PD=3，则AD·DC 等于( ) A．6 B．7 C．12 D．16 思绪点拨 作出以 P 点为圆心、PA 长为半径圆，为相交弦定理应用创设了条件．注：到一种定点等距离几种点在同一种圆上，这是运用圆定义添辅助圆最基本措施．【例 3】 如图，在△ABC 中，AB=AC，任意延长 CA 到 P，再延长 AB 到 Q，使AP=BQ，求证：△ABC 外心 O 与 A，P，Q 四点共圆． 思绪点拨 先作出△ABC 外心 O，连 PO、OQ，将问题转化为证明角相等．【例 4】 如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于 A，PBC 是⊙O 割线，AD⊥PO 于 D．求证：． 思绪点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过鉴定△ PBD 与△PCD 相似证明．PA2=PD·PO=PB·PC，B、C、O、D 共圆，这样连 OB，就得多对相似三角形，以此抵达证明目．注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一种重要证明措施，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要地位，这是由于，某四点共圆，不仅与这四点相联络条件集中或转移，并且可直...