相似三角形与三角函数综合应用

-学 习 改 变 命 运- 1 5 7 教 学 内 容 智康笔记 【知识框架】 【精选例题】 （一）相似三角形的判定与性质的应用 【例1】设点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，F 是BC 边上一点，线段DE和AF 相交于点P，点Q 在线段DE 上，且AQ∥PC ① 证明：PC＝2AQ ② 当点F 为 BC 的中点时，试比较△PFC 和梯形APCQ 面积的大小关系，并对你的结论加以证明。 PQFEDCBA 相似三角形与三角函数综合应用 相 似 三角形判定和性质的应用相 似 三角形与函数结合相 似 三角形与圆等图形结合相 似 三角形与动点结合相 似 三角形的应用 -学 习 改 变 命 运- 158 【例2】 图① 图② （1）已知：如图①，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，点 D、E 在斜边 AB 上，且∠DCE=45°. 求证：线段 DE、AD、EB 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图②，等边三角形 ABC 中，点 D、E 在边 AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段 DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数； （3）在（1）的条件下，如果 AB=10，求 BD·AE 的值． 【例3】如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G 分别是 AC 和 FD 的中点，过 G 的直线依次交 AB、AD、CD、CE 于点 M、N、P、Q，求证：MN＋PQ＝2PN． B A C M N P E F Q D G 图 -学 习 改 变 命 运- 1 5 9 （二）相似与函数结合：求点的坐标、线段的长度 【例4】已知：反比例函数xy2和xy8 在平面直角坐标系x Oy 第一象限中的图象如图所示，点A 在xy8的图象上，AB∥y 轴，与xy2的图象交于点B， AC、BD 与 x 轴平行，分别与xy2、xy8的图象交于点C、D. （1）若点A 的横坐标为 2，求梯形 ACBD 的对角线的交点F 的坐标； （2）若点A 的横坐标为 m，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小，并说明理由； （3）若△ABC 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点A 的坐标. 【例5】如图，已知抛物线 y＝ 43x2＋bx＋c 与坐标轴交于 A、B、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线 y＝ t43x－3 与 x 轴交于点Q，点P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PH⊥OB 于点H．若 PB＝5t，且 0＜t＜1． （1）填空：点C 的坐标是 ，b＝ ，c＝ ； （2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示）； （3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以 P、H、Q ...