矢量张量公式及推导

矢量及张量 Create by 小强大战胡萝卜 本文档用于学习交流，严禁用于谋利和商业用途 1. 协变基矢量：321ggga321aaa，ia 称为逆变基分量，ig 是协变基矢量。 2. 逆变基矢量：321ggga321aaa，ia 称为协变基分量，ig 是逆变基矢量。 3. 爱因斯坦求和约定：省略求和符号，iiggaiiaa 4. 逆变基于协变基的关系：jijigg 5. 标积：iijijibabaggba 6. 坐标转换系数ii' ：iiiiiiiiiiixxxxxxggrrg''''' 7. 转换系数的性质：ijkjik''，因为''''mlmjiljiijgggg 8. 张量：分量满足坐标转换关系的量，比如矢量''''''iiiiiikkiivvvgggv 9. 置换张量：ijkkjiijkeg][ggg，其中][321gggg，同理有 ijkkjiijkeg1][ggg 由行列式的性质及线性][][]['''''''''nmlnkmjlinnkmmjllikjiggggggggg，因此ijk是张量分量。 定义置换张量：kjiijkkjiijkggggggε 10 . 基的叉积：klijlijkkjiggggg，所以lijljiggg，lijljiggg 11. 叉积：kijkjijijibabagggba，或写成实体形式ε:abab:εba，双标量积用前前后后规则完成。 12. 混和积：abcεggggggcbaijkkjikjikjikkjjiicbacbacba],,[],,[],,[ 13. rstijkrstijkktkskrjtjsjritisiree，有以上关系可得 14. 重要关系： ksjtktjsistijk ktktktkjjtktjjijtijk23 62kkijkijk 15. 反偶：反对称二阶张量Ω 满足Ω:εω21，其中ω 是一矢量，则称ω 与Ω 互为反偶 16. 反偶的性质：εωωεΩuωuΩ 17. 证明： mimmmiklmilkmimklklmjlmijkkjijkjijuΩuΩuΩuΩεεuωεuΩ2121)(2121由于Ω 是反对称张量，上式得证 同理jiijlmjlimjmillmklmijkkijkijΩΩΩΩεεωεΩ2121)(2121 18. 另外同样可以证明两对反偶有：⑵⑴⑵⑴Ω:Ωωω21 几个矢量公式及其证明： 1. acbbcacba)()()( 证明： 分量m 有mllmiijlimjmilljiklmijkljiklmlijkjiacbbcacbacbacba)( 2. )]([)]([)]([)]([()()(dcbadcabcbaddbacdcba 证明： nijkkjinijkkjisnr...