矢量及张量 Create by 小强大战胡萝卜 本文档用于学习交流,严禁用于谋利和商业用途 1. 协变基矢量:321ggga321aaa,ia 称为逆变基分量,ig 是协变基矢量。 2. 逆变基矢量:321ggga321aaa,ia 称为协变基分量,ig 是逆变基矢量。 3. 爱因斯坦求和约定:省略求和符号,iiggaiiaa 4. 逆变基于协变基的关系:jijigg 5. 标积:iijijibabaggba 6. 坐标转换系数ii' :iiiiiiiiiiixxxxxxggrrg''''' 7. 转换系数的性质:ijkjik'',因为''''mlmjiljiijgggg 8. 张量:分量满足坐标转换关系的量,比如矢量''''''iiiiiikkiivvvgggv 9. 置换张量:ijkkjiijkeg][ggg,其中][321gggg,同理有 ijkkjiijkeg1][ggg 由行列式的性质及线性][][]['''''''''nmlnkmjlinnkmmjllikjiggggggggg,因此ijk是张量分量。 定义置换张量:kjiijkkjiijkggggggε 10 . 基的叉积:klijlijkkjiggggg,所以lijljiggg,lijljiggg 11. 叉积:kijkjijijibabagggba,或写成实体形式ε:abab:εba,双标量积用前前后后规则完成。 12. 混和积:abcεggggggcbaijkkjikjikjikkjjiicbacbacba],,[],,[],,[ 13. rstijkrstijkktkskrjtjsjritisiree,有以上关系可得 14. 重要关系: ksjtktjsistijk ktktktkjjtktjjijtijk23 62kkijkijk 15. 反偶:反对称二阶张量Ω 满足Ω:εω21,其中ω 是一矢量,则称ω 与Ω 互为反偶 16. 反偶的性质:εωωεΩuωuΩ 17. 证明: mimmmiklmilkmimklklmjlmijkkjijkjijuΩuΩuΩuΩεεuωεuΩ2121)(2121由于Ω 是反对称张量,上式得证 同理jiijlmjlimjmillmklmijkkijkijΩΩΩΩεεωεΩ2121)(2121 18. 另外同样可以证明两对反偶有:⑵⑴⑵⑴Ω:Ωωω21 几个矢量公式及其证明: 1. acbbcacba)()()( 证明: 分量m 有mllmiijlimjmilljiklmijkljiklmlijkjiacbbcacbacbacba)( 2. )]([)]([)]([)]([()()(dcbadcabcbaddbacdcba 证明: nijkkjinijkkjisnr...