矢量期末复习题

1 矢量分析与场论复习题 注意题目中出现的ˆˆˆ,,xyzei ej ek 1. 求下列温度场的等温线 1）Txy，2）Txy122 解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ Cxy ，xCy ；⑵ Cyx22 1. 求下列标量场的等值面 1）uaxbycz1 ，2） =- uzxy22， 3）uxyz= ln(++)222 解 据题意可得 ⑴ kczbyax ⑵ cyxz22，222czyx ⑶  czyx222ln，cezyx222，2222kzyx 2. 求矢量场Aeeexyzxyz2 经过点 M ( . ,. ,. )10 2 0 30 的矢量线方程。 解 根据矢量线的定义，可得 zzyyxx2ddd 解微分方程，可得 xcy1， 22xcz  将点M ( . ,. ,. )10 2 0 30 的坐标代入，可得 21 c，32 c 即 xy2，23xz  为所求矢量线方程。 3. 求矢量场Aeeey xx yy zxyz222的矢量线方程。 解 根据矢量线的定义，可得 zyzyxyxyx222ddd 解微分方程，可得 122cyx，xcz2 为所求矢量线方程。 4. 设uxzyzxz()M 32222，求： 1）u()M 在点 M 0 10 2 0 30( . ,. ,. ) 处沿矢量leeeyxzxxyxyz 方向的方向导数， 2）u()M 在点 M 0( . ,. ,. )10 2 0 30 处沿矢量leee()()622222xzzzyxxyz方向的方向导数。 解 l的方向 余 弦 为 1722322cos222，1732323cos222，1722322cos222； 2 又有 122600MMxzxxu，6200MMzyu，422200MMxyzzu 据方向导数的定义，可得 1714172436212coscoscos0000MMMMzuyuxulu 5. 求标量场uxyyzzx在点M 0( . ,. ,. )10 2 0 30 处沿其矢径方向的方向导数。 解 l的方向余 弦 为 1413211cos222，1423212cos222，1433213cos222； 又有 500MMzyxu，400MMzxyu，300MMxyzu 据方向导数的定义，可得 142214332415coscoscos0000MMMMzuyuxulu 6. 设 有标量场uxyz22 ，求u 在点( . ,. ,2 010 1 . 0 )处沿该 点至( . , . ,30 10 -1.0) 方向的方向导数。在点(. ,. , 1.0)2 010沿什么方向的方向导数达到最大值？其值是多少？ 解 点( . ,. ,2 010 1....