矩阵的初等行变换与矩阵的秩

矩阵的初等行变换与矩阵的秩 一、矩阵的初等行变换 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 1.互换矩阵两行的位置（对换变换）； 2.用非 0 常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）； 3.将矩阵的某一行遍乘一个常数 k 加到另一行（倍加变换）上。 二、阶梯形矩阵 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵 1.各个非 0 行（元素不全为 0 的元素）的第一个非 0 元素的列标随着行标的递增而严格增大； 2.如果矩阵有0 行，0 行在矩阵的最下方。 例如 重要定理一 任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。 例题 注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一 例如： 三、矩阵的秩 矩阵A 的阶梯形矩阵非 0 行的行数称为矩阵A 的秩，记作秩（A ）或 r(A) 例如下列矩阵的秩分别为 2、3、4 000049201321、100980201、50000301000783013002 例题 求矩阵 35222232111201107033A 秩及秩(TA ) 解 35222232111201107033A 35222232110703312011,②① 11200112003100012011)2()1()3(①④①③①② 00000112003100012011)1(③④ 00000310001120012011,③② 所以，秩(A)=3 32105327220021132113A T 32101101220000002113)2(①④①② 00002113220032101101,,⑤②④① 00001210220032101101)3(①④ 00004400220032101101)1(②④ 000000002200321011012③④ 所以，3A T秩 可 以 证 明 ： 对 于 任 意 矩 阵 A ，TAA秩秩；矩阵的秩是唯一的。 问题： 矩阵：014568327630221的秩等于 4？对否，为什么？ 满秩矩阵（非奇异矩阵、非退化矩阵） 设A...