矩阵的等价标准形的应用

第3 讲 矩阵的等价标准形的应用 设矩阵m nA 的秩rank Ar，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆阵Q，使 000rEPAQ ， 我们把000rE称为A 的等价标准形．熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形．矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题． 例1 每个方阵A 均可写成ABC，其中B 是可逆阵，C 是幂等阵（即2CC）． 证 设A 的秩rank Ar，则存在可逆阵P 和Q，使000rEAPQ．记BPQ， 1000rECQQ ，显然B 是个可逆阵，2CC是个幂等阵，并且ABC． 例2 设n 阶方阵A 的秩rank Ar，证明存在可逆阵P，使1P AP的后nr行全是零． 证 存在可逆阵P 和Q，使1000rEP AQ ，从而11000rEP APQ P 的后nr行全是零． 例3 设n 阶矩阵A 的秩rank Arn，证明存在非零n 阶矩阵B，使0BAAB． 证 由例1 知存在可逆阵1A 和幂等阵2A ，使12AA A．记121BEAA，显然0B ，且11211212210BAEAA A AA AEAAAB． 例4 设n 阶矩阵A，B 满足ABE，证明BAE． 证 存在n 阶矩阵P，Q，使得000rEPAQ ，这里r  rank A，我们断言rn．事实上，从ABE易知 11000rEPAQ Q BPQ B ， 11000rEEQ BP， 由此显然得到rn，此时11PAQQ BPE，从而 111EQ BPPAQQ BAQ，进而BAE． 例5 设n 阶幂等阵A（即2AA）的秩rank Ar，证明存在可逆阵P，使 1000rEP AP ． 证 存在可逆阵R 和T，使1000rER AT ，记11122TRTRRT ，其中1T 为r阶方阵，则 11111112200000rTRETRR ARR AT T RRT， 从2AA即知211R ARR AR，从而 211111111100000000TRTRTRTT R， 因此211TT，且  11111T TRTR，注意到11TR的秩等于 r，知r阶方阵1T 的秩 rank1Tr，必须1rTE，随之得到 1100rERR AR ． 现令可逆阵10rn rERPRE，可验证 1111111000 .000000rrn rn rrrrrn rn rERERP APR AREEEREREREEE...