不等式选讲-知识点

不等式选讲 知识点一、绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理 1：如果 a,b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，|+|≤||+||，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|“中 =”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|“，在侧 =”成立的条件是 ab≥0“，左侧 =”成立的条件是 ab≤0 且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|“，右侧 =”成立的条件是 ab≤0“，左侧 =”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|。定理 2：如果 a,b,c 是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解集不等式a＞0a=0a＜0|x|＜a{x|-a＜x＜a}|x|＞a{x|x＞a 或 x＜-a }{x|x∈R 且 x≠0}R注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点 x 到原点的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点 x 到点 a,b 的距离之和（差）（2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;②| ax+b|≥c ax+b≥c 或 ax+b≤-c.（3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；“”方法二：利用 零点分段法 求解，体现了分类讨论的思想；abab方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。二、证明不等式的基本方法1．比较法（1）作差比较法① 理论依据：a＞ba-b＞0;a＜b a-b＜0.②→→→证明步骤：作差变形判断符号得出结论。注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与 0 的大小关系。（2）作商比较法① 理论依据： ②→→证明步骤：作商变形判断与 1→的大小关系得出结论。2．综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。（2“”）思路：综合法的思索路线是 由因导果 ，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。3．分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公...