1 福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案 本复习题页码标注所用教材为： 教材名称 单价 作者 版本 出版社 初等数论 1 4 .2 0 闵嗣鹤，严士健 第三版 高等教育出版社 复习题及参考答案一 一、填空(40%) 1 、求所有正约数的和等于 15 的最小正数为 考核知识点：约数，参见 P14-19 2、若121 1,,,b bb是模 11 的一个完全剩余系，则 121 181 ,81 ,,81bbb也是模 11 的 剩余系. 考核知识点：完全剩余系，参见 P54-57 3．模 13 的互素剩余系为 考核知识点：互素剩余系，参见 P58 4.自 176 到 545 的整数中是 13 倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见 P11-13 5、如果 p 是素数, a 是任意一个整数,则 a 被 p 整除或者 考核知识点：整除，参见 P1-4 6、ba,的公倍数是它们最小公倍数的 . 2 考核知识点：最小公倍数，参见P11-13 7、如果ba,是两个正整数,则存在 整数rq,,使rbqa,br 0. 考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果 n3 ，n5 ，则 15（ ） n . 考核知识点：整除，参见P1-4 二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里 n 是任意整数。 考核知识点：整除的性质，参见P9-12 提示： i)若 则 ii)若 则 iii)若 则 又 三、(10%)假定a 是任意整数，求证aa(mod ) 21 03 或 aa(mod )203 考核知识点：二次同余式，参见P88 提示:要证明原式成立，只须证明231aa ，或者23 aa成立即可。 四、（10％）设 p 是不小于 5 的素数，试证明21(mod 24)p 考核知识点：同余的性质，参见P48-52 提示： 且是不小于 5 的素数． 又 且是不小于 5 的素数． 3 只能是奇数且 即 即 五、(15%)解同余式组 51(mod7)142(mod8)xx 考核知识点：同余式，参见P74-75 提示 (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x≡2(mod8) 有且仅有二个解 解7x≡1(mod4) ⇒ x≡3 (mod4) ∴ 6x≡10(mod8)的解为 x≡3，3+4(mod8) 原同余式组等价于3 mod 73 mod8xx 或3 mod 77 mod8xx 分别解出两个解即可。 六、（15%)证明形如14 n的整数不能写成两个平方数的和. 考核知识点：同余，参见P48-53 设 n 是正数,并且1(mod 4)n , 如果22nxy, 则因为对于模 4, ,x y只与 0,1,2,-1 等同余, 所以22,xy 只能与 0,1 同余, 所以220,1, 2(mod 4...
