离散数学之代数系统篇

142 第三篇 代数系统篇 第3 -1 章 代数结构 本章将从引入一般代数系统出发，研究如群、环、域等这样一些代数系统，而这些代数系统中的运算所具有的性质确定了这些代数系统的数学结构。 § 3 -1 -1 代数系统的概念 在计算机科学中，常用代数系统去描述机器可计算函数，研究运算的复杂性，分析程序设计语言的语义等。 由非空集合和该集合上的一个或多个运算所组合的系统，常称为代数系统，有时简称为代数。在研究代数系统之前，首先考察一个非空集合上运算的概念，如将有理数集合Q上的每一个数 a 的映射成它的整数部分［a］；或者将Q上的每一个数a 映射成它的相反数-a ，这两个映射可以称为集合Q上的一元运算；而在集合Q上，对任意两个数所进行的普通加法和乘法都是集合Q上的二元运算，也可以看作是将Q中的每两个数映射成一个数；至于对集合Q上的任意三个数x１，x2 ，x3 ，代数式x12+x22+x32和x1+x2+x3分别给出了Q上的两个三元运算，它们分别将Q中三个数映射成Q中的一个数。上述这些例子有一个共同的特征，那就是其运算的结果都是在原来的集合中，我们称那些具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。相反地，没有这种特征的运算就是不封闭的。 很容易举出不封闭运算的例子，设N是自然数集，Z是整数集，普通的减法是N×N到Z的运算，但因为两个自然数相减可以不是自然数，所以减法运算不是自然数集N上的闭运算。 定义3 -1 -1 .1 设A和B都是非空集合，n 是一个正整数，若 是An到B的一个映射，则称  是A到B的一个n元运算。当B=A时，称  是A上的n元运算（n-ary operation），简称A上的运算。并称该n元运算在A上是封闭的。 例3 -1 -1 .1 （1）求一个数的倒数是非零实数集R*上的一元运算。 （2）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而加法和减法不是。 （3）S是一非空集合，SS是S到S上的所有函数的集合，则复合运算○是SS上的二元运算。 （4）空间直角坐标系中求点（x，y，z）的坐标在 x 轴上的投影可以看作实 143 数集R上的三元运算f (x，y，z) = x，因为参加运算的是有序的3个实数，而结果也是实数。 通常用等○，，﹡，„„等表示二元运算，称为算符。若f：s×s→s 是集合S 上的二元运算，对任意 x,yS,如果x 与 y 运算的结果是z, 即 f (x，y) = z ,可利用运算○简记为，x○y = z 。 类似于二元运算，也可以使用算符来表示n 元运算。如 n 元运算 f（a1，a2...