等差数列和前n项和讲义

. WORD 格式.资料 .等差数列及其前 n 项和一、等差数列的相关概念（一）等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。“利用： an+1－an＝d (d 为常数)”判断一个数列是否是等差数列。注意：（1）如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项起或第 4 项起，那么此数列不是等差数列；（2）等差数列要求这个常数必须相同；（3）公差d ： d ＝an+1－an＝an－an−1 (n≥2)；（4）当d ＝0 时，数列为常数数列；当d ＞0，数列为递增数列；当d ＜0，数列为递减数列；（5）公差必须为后一项减前一项，不能颠倒。（二）、等差数列的通项公式如果等差数列{}的首项为a1，公差为d ，那么它的通项公式是＝a1＋(n－1)d ，或者通项公式的变形：＝am＋(n－m) d 。（三）、等差中项：（1）由三个数a ，A，b 组成的等差数列，A 叫做a 和 b 的等差中项，则 2A＝a ＋b；（2）若在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即 2an＝an−1＋an+1。（3） 特别地：在△ABC 中，A、B、C 成等差数列，则 B＝600。例 1：已知数列{}为等差数列a3＝，a7＝－，则a15＝____________。【基本量法】【解析】 －.变式练习 1：若等差数列{}的公差d ≠0，且a1，a2是关于 x 的方程 x2－a3x＋a4＝0 的两根，求数列{}的通项公式。【解】 由题意知∴解得 an＝2n. 专业.整理 nananananana. WORD 格式.资料 .变式练习 2：（1）方程 x2－6x＋1＝0 的两根的等差中项为________。（2）等差数列{}中，前三项依次为1x+1 ，56 x ，1x ，则公差d ＝________.【解析】(1)设方程两根为 x1、x2，则 x1＋x2＝6，所以其等差中项为＝3.(2)由＋＝2×得 x＝2，故知等差数列{an}的首项为，公差 d＝.变式练习 3：等差数列{an}中，若a7－a3＝20，则a2017－a2011＝( )A：40B：30C：25D：20【解析】选 B.因为 4d＝a7－a3＝20，所以 d＝5，于是 a2017－a2011＝6d＝6×5＝30.二、等差数列的性质1、d ＞0，{} 是递增数列；＝0 ， {} 是常数列； d ＜0 ， {}是递减数列。2、公差d ＝an−a1n−1 ＝an−amn−m (m、nN∈＋) 3、若 p＋q＝m＋n，则a p＋aq＝am＋an m、n、p、qN∈＋；特别地：m+n2＝k，则 2ak＝am＋an(角标公式)例 2：在公差为d 的等差数列{}中，（1）若a2＋a3＋a23＋a24＝48，...