第4讲-复内积空间-(酉空间)VIP专享

第 4 讲 复内积空间 (酉空间)内容：1. 复内积空间 2. 正规矩阵3. Hermite 二次型欧氏空间是针对实线性空间而言的，本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质，然后将实二次型推广为复二次型，介绍厄米（Hermite）二次型.§1 复内积空间 (酉空间)1. 复内积空间 (酉空间)定义 1.1 设V 是复线性空间,若对于V 中任意两个元素（向量）x和y ,总能对应唯一的复数，记作(x , y ),且满足以下的性质：（1 ）对称性 (x , y )=( y , x)_____;（2 ）可加性 ( x+ y ,z)=(x ,z )+( y ,z );（3 ）齐次性 (kx , y)=k(x, y ),∀ k∈C;（4 ）非负性 ( x ,x)≥0,当且仅当x=0时,( x ,x)=0则称该复数是V 中元素（向量）x和y 的内积.称定义了内积的复线性空间V 为酉空间(或称U 空间或复内积空间).例1.1 在n维向量空间Cn中，任意两个向量x=(x1, x2,⋯,xn)T，y=( y1, y2,⋯, yn)T， 若规定( x , y )=x1 y__1+x2 y__2+⋯+xn y__n=∑k=1nxk y__k，则容易验证，它是Cn中向量x和y 的内积.2. 酉空间的性质：(1) (0, x)=(x,0)=0,∀ x ∈V(2) (x ,ky )=k__(x , y ),∀ x, y ∈V ,∀k ∈C(3) (x , y+z)=(x , y )+(x ,z ),∀ x , y ,z ∈V(4) (∑i=1nk ixi,∑j=1nl j y j)=∑j=1n∑i=1nki l__j(xi, y j)3. 酉空间的一些结论(1) 向量的长度|x|=√(x, x)(2) 不等式: |(x, y)|≤|x||y|(3) 两个非零向量的夹角 ¿ x , y >=arccos ((x, y )( y, x))1/2|x||y|,(0≤ ≤π2 )(4) 当( x , y )=0时，称x与y 正交，积作x⊥ y.与欧氏空间一样，在酉空间中也可类似定义正交基，标准正交基，而且V 中的任一组基均可通过方法化为一组标准正交基.4. 酉变换和复对称变换定义 1.2 设σ 是U 空间中的一个线性变换，若对∀ α, β∈U，均有(σ( α ),σ ( β))=(α , β)成立，则称σ 为U 空间上的酉变换，而满足AH=A−1的矩阵A称为酉矩阵.定理 1.1 设σ 是酉空间V 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：(1) σ 是一个酉变换(2) 保持元素的长度不变,即对任意的α ∈V ，有|σ(α)|=|α|(3) V 中任意一个标准正交基其象仍是一个标准正交基(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即AA H=A H A=E定义 1.3 设σ 是U 空间中的一个线性变换，若对∀ α, β∈U，均有(σ( α ), β)=(α ,σ ( β))成立，...