空间向量与立体几何经典题型VIP专享

共24 页 第1 页 例题1. 已知, ,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OPOAOBOC， 试判断：点P 与, ,A B C 是否一定共面？ 分析：要判断点P 与, ,A B C 是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对 ,x y，使APxAByAC或对空间任一点O ，有OPOAxAByAC。 解：由题意：522OPOAOBOC， ∴()2()2()OPOAOBOPOCOP， ∴22APPBPC，即22PAPBPC ， 所以，点P 与, ,A B C 共面． 点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 例题2. 如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且13BMBD，13ANAE．求证：//MN平面CDE ． 分析：要证明//MN平面 CDE ，只要证明向量 NM 可以用平面CDE 内的两个不共线的向量 DE 和 DC 线性表示． 证明：如图，因为 M 在 BD 上，且13BMBD，所以111333MBDBDAAB．同理1133ANADDE，又CDBAAB ，所以 MNMBBAAN 1111()()3333DAABBAADDE2133BADE2133CDDE．又CD 与DE 不共线，根据共面向量定理，可知MN ，CD ，DE 共面．由于MN 不在平面CDE内，所以//MN平面CDE ． 点评：空间任意的两向量都是共面的． 考点二 证明空间线面平行与垂直 例题3 . 如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D 是AB 的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1； 分析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线共24 页 第2 页 转化 转化 面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行. 解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ∴ AC⊥BC，且BC1 在平面ABC 内的射影为BC，∴ AC⊥BC1； （II）设CB1 与C1B 的交点为E，连结DE， D 是AB 的中点，E 是BC1 的中点，∴ DE//AC1， DE 平面CDB1，AC1 平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1； 解法二： 直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C 两两垂直，如图，以C 为坐标原点，直线CA、CB、C1C 分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0）...